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x O D y y x y O ab x D 在直角坐标系下二重积分的计算的公式有 d c 1 9.3 二重积分的换元法 在计算定积分时, 换元法是一种强有力的方法. 在计 不易计算时, 算二重积分时, 也常用此法. 特别是二重积分 上的二重积分, 以达到简化二重积分的计算. 那么这两个二重积分有何关系呢？ 把 xy 平面内区域 D上的二重积分, 变成 uv 平面内区域 (x, y)的特点, 用一个适当的变换 我们也可根据积分区域D的形状和被积函数 2 定理2 若(x, y)在 xy 平面的闭区域D上连续, 且变换 (1) 与 在 uv 平面的闭区域 上具有一阶连续 (2)它将xy平面上的区域D 一对一地变为uv平面上的区域 ； 则在此变换下, 二重积分为 偏导数； 满足： 3 注2 换元法计算二重积分的关键是根据被积函数 (x, y)的特点和区域 D的形状, 构造变换式. 注3 的实质就是变换前后D与 的伸缩率(或比 例系数 ). 4 解 区域 D 的图形如右图 解得变换式 令 u = y x, v = y + x x y O D x+ y=2 5 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域 如右图： u v O u= v v=2 u=v 6 二重积分直接化为二次积分较麻烦. 现采用换元法. 令 作出区域 D 的图形如右图 x y O D x+y=c x+y=d y=ax y=bx d cd 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域 7 O c d abu v 则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域 8 解 作出区域 D 的图形如右图 现采用换元法. 令 x y O D x+y =1 xy =1 x+y = 1 x+y =1 O u v 1 1
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