重积分的概念及性质.ppt

理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 微积分微积分A A 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 第九章第九章 重重 积积 分分 教学内容和基本要求 理解二重积分、三重积分的概念，及其性质理解二重积分、三重积分的概念，及其性质, , 掌握积分中值定理掌握积分中值定理。 掌握二重积分的计算方法掌握二重积分的计算方法( (直角坐标、极坐标直角坐标、极坐标).). 会用重积分求一些几何量与物理量会用重积分求一些几何量与物理量( (如面积如面积、体积、体积、 曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等) )。 了解三重积分的计算方法了解三重积分的计算方法( (直角坐标、柱面坐标、直角坐标、柱面坐标、 球面坐标球面坐标) )。 重点与难点重点与难点 重点：二重积分的计算方法, 三重积分的计算方法. 难点：三重积分计算方法三重积分计算方法, , 重积分在几何及物理方面的应用重积分在几何及物理方面的应用. . 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 回忆定积分.设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. 则 0 x y abxi xi+1 i y = f (x) f ( i) 其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小区 间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形的面积. 9.1 二重积分的概念与性质 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 多元函数积分学的内容简介 一元积分学是讨论确定形式和式的极限， 并用此思想得出了一些量的计算。 这种讨论和式的极限的思想可以推广到定 义在区域、曲线及曲面上的多元函数的情形。 本章将推广到定义在空间区域上多元函数积 分学为重积分。包含二重积分、三重积分等。 下章将推广到定义在曲线及曲面上多元函 数积分学为线积分、面积分学。 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 柱体体积=底面积高 特点：平顶 柱体体积=？ 特点：曲顶 1. 曲顶柱体的体积 一、问题的提出 曲顶柱体 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 曲顶柱体： 以曲面：z=f(x,y)为顶， 一般z=f(x,y)在D上连续。 以平面有界区域D为底， 侧面是柱面， 该柱面以D为准线， 母线平行于z轴。 还有其他类型的柱面。 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法， 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 设有一立体. 其底 面是 xy 面上的区域 D, 其侧面为母线平 行于 z 轴的柱面, 其 顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 0 y z x z = f (x,y) D 如何求曲顶柱体的体积 V. 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体 的底，并取典型小 区域， 具体步骤见下页具体步骤见下页: : 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 (i) 用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. 如图 z = f (x,y) 0 y z x z = f (x,y) D Di Di 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 (ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体 可近似看作小平顶柱体. ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) I 小曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i) Di z = f (x,y) 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 (iii) 因此, 大曲顶柱体的体积 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精 确值V, 若分割得“无限细“, 则右端近似值会 无限接近于精确值V. 也就是 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 (iv) 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. 其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积. x y Di 如图 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 当平面薄板的质量是均匀分布时, 平面 薄板的质量 = 面密度面积. 2. 平面薄板的质量 M. 若平面薄板的质量不是均 匀分布的. 这时, 薄板的质量 不能用上述公式算, 应如何 算该薄板的质量M 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 (i) 用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn , 设一平面薄板, 所占区域为D , 面密度 (x, y) 0 连续. (x, y) D. 求该平面薄板的质量M. 0 x y D Di Di的面积记作 i . 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 0 x y D Di 由于(x, y) 0 连续, 从而当Di很小时, (x, y) 在 Di上的变化不大, 可近似看作(x, y)在Di上是不变的 . 从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这 一小块质量的近似值. 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 (ii) 即, ( i , i) Di , 以 ( i , i)作为Di 这一 小片薄板的面密度. 从而, 第 i 片薄板的质量 mi ( i , i) i (iii)故, 平面薄板的质量 (iv) 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有 界函数. 将D任意分割成n个无公共内点的小区域 Di(I=1, 2, , n), 其面积记为 i. (i, i) Di, 作积 f (i, i) i, 二、二重积分的概念与性质 1.定义 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式 的极限存在且极限值都为I, 则称f (x,y) 在D上可积, 记为f (x,y) R(D), 并称此极限值 I 为 f (x,y)在D上的二重积分. 记作 即 积分区域 被积函数 面积微元 二重积分符号 积分变量 积分和 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 注1. 定积分 二重积分 区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i, 将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i) 换成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数 值 f (i, i).可见, 二重积分是定积分的推广. 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的 直线分割.(如图) Di D 则除边界上区域外, Di 的面积i = xi yi, 故也将二重积分写成 是我们常用的写法 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 注3. 可以证明若f (x, y)在D上连续, 则f (x, y)在D 上可积, 若f (x, y)在D上有界, 且在D内只有有限个不连 续点, 或只在有限条曲线上不连续, 则f (x, y)可积. 2. 二重积分的性质 设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在. 性质1. 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 性质2. 性质3. 性质4. 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 若在D上有f (x, y) g (x, y), 则 特别: (i) 若在D上f (x, y)0, 则 (ii) 这是因为 | f (x, y)| f (x, y) | f (x, y) | 积分后即得. 性质5. 哈尔滨工程大学 微积分 理学院工科数学教学中心 若在D上 m f (x, y) M, 则 设 f (x, y) C(