周期信号的分解与合成.ppt

第3章 连续信号与系统的频域分 析 本章重点和要点 利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱 利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱 理解信号的时域与频域间的关系 掌握傅里叶变换定义、性质、应用 掌握系统的频域分析方法 掌握取样定理及其应用 理解频谱分析在通信系统中的应用 引言 回顾时域分析中利用卷积 对信号进行分解继而求出 响应的思路 信号的分解 求响应 再迭加 时域分析:卷积积分 频域分析:傅立叶变换 复频域分析:拉普拉斯变换 自变量为 S = + 自变量为 自变量为 t 结论 LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征 ，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI 系统的特性。 3.1 信号的正交分解 3.1.1 矢量的正交分解 1. 正交矢量 图 3.1-1 两个矢量正交 2. 矢量的分解 图 3.1-3 平面矢量的分解 图 3.1-4 三维空间矢量的分解 上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交 的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集V1, V2, ， Vn为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以 精确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即 式中，ViVj=0(ij)。 第r个分量的系数 3.1.2 信号的正交分解 1. 正交函数 设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与 f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为 2. 信号的正交展开 设有一函数集g1(t), g2(t)，gN(t)，它们定义在区 间(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, ，N)都有 则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果 则称该函数集为归一化正交函数集。 用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的 线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即 这种近似表示所产生的平方误差为 定理 3.1-1 设gi(t)在(t1, t2)区间上是关于某一类信号f(t) 的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都 可以精确地表示为gi(t)的线性组合， 即 式中，ci为加权系数，且有 式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级 数，ci称为傅里叶系数。 (3.1-14) (3.1-15) 定理 3.1-2 在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1- 13)式有 式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和 ， 即能量守恒。定理3.1-2 有时也称为帕塞瓦尔定理。 (3.1-16) 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 3.2.1 三角形式的傅里叶级数 三角函数集cosnt, sinnt|n=0,1,2,是一个正交函数 集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2/是各个函数cosnt， sinnt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式 ： 上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0=1, sin 0=0，而0不应 计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为 式中，=2/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。 式(3.2 - 5)就是周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数 展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各 函数的周期T相同，故上述展开式在(-, )区间也是成立的 。 可得加权系数： 狄利赫利条件： .在一个周期内只有有限个间断点； .在一个周期内有有限个极值点； .在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件. 3.2周期信号的分解与合成 3.2.1周期信号的三角级数表示 cosn1t, sinn1t 3.2.2周期信号的复指数表示 e j n 1t 3.1周期信号的分解与合成 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义 1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合， 为不同信号之间进行比较提供了途径。 2.从系统分析角度 已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特 性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下 的总响应； 而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增 强一目了然。 傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示” 1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号 的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表 示”傅里叶的第二个主要论点 3.2.1周期信号的三角级数表示 任何正常的周期为 T 的函数 f (t) 都可分解为无限个 正弦和余弦函数的代数和。 直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n1 基波角频率 3.2.1周期信号的三角级数表示 傅立叶系数 直流系数 余弦分量系数 正弦分量系数 可取 t0=0，t0=T/2 3.2.1周期信号的三角级数表示 周期信号的另一种三角级数表示 3.2.1周期信号的三角级数表示 几个系数的关系 3.2.1周期信号的三角级数表示 几种系数的特点 是 n 的偶函数 是 n 的奇函数 是 n 的偶函数 是 n 的奇函数 3.2.1周期信号的三角级数表示 f (t) 为偶函数时的傅立叶级数 取 t0=T/2 f ( t ) = f ( t )， 偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量 ，无正弦分量。 3.2.1周期信号的三角级数表示 f (t) 为奇函数时的傅立叶级数 取 t0=T/2 f ( t ) = f ( t )， 奇函数的傅立叶级数只有正弦分量， 无直流分量和余弦分量。 3.2.1周期信号的三角级数表示 f (t) 为奇谐函数时的傅立叶级数 f (t) 沿时间轴平移半个周期，并关于时间轴对称， 此时波形不变，这样的 f (t) 称为半波函数或奇谐函数。 当 n 为偶数时： 奇谐函数的傅立叶级数中只含有基波和奇次谐波 的正、余弦分量，无偶次谐波分量。 3.2.1周期信号的三角级数表示 f (t) 为偶谐函数时的傅立叶级数 f (t) 沿时间轴平移半个周期， 此时波形不变，这样的 f (t) 称为半波函数或奇谐函数。 当 n 为奇数时： 偶谐函数的傅立叶级数中只含有偶次谐波的正、 余弦分量，无基波和奇次谐波分量。 3.2.1周期信号的三角级数表示 P94/例3.21： 求周期矩形波的傅里叶级数展开式。 奇函数： 且也是奇谐函数： n 为奇数： 3.2.2 指数形式的傅里叶级数 式中，T=2/为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数 f(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为 式中，相关系数Fn 3.2.2周期信号的