泰勒级数及其应用毕业论.doc

1 目目 录录 1 引言2 2 泰勒级数3 2.1 泰勒公式3 2.2 泰勒级数3 2.3 泰勒展开式 (幂级数展开式) 4 3 泰勒级数的应用6 3.1 利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式6 3.2 近似计算7 3.3 证明不等式10 3.4 应用泰勒级数计算积分10 参考文献 .12 2 泰勒级数及其应用泰勒级数及其应用 王一王一 （西北师范大学数学与统计学院 甘肃兰州 730070） 摘要摘要: 本文主要介绍了泰勒级数及其应用, 泰勒级数是一种常用的数学工具, 在很多 时候利用泰勒级数解题是非常方便的. 本文就是对泰勒级数及其应用的一些叙述,主要是对 泰勒级数在初等函数展为幂级数、近似计算、证明不等式、计算积分等方面展开讨论. 关键词关键词: 泰勒公式;泰勒级数;泰勒展开式;近似;不等式;积分 中图分类号中图分类号: : O171 Taylor series and its applications WANG Yi (College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China） Abstract: This thesis mainly introduces Taylor series and its applications. Taylor series is a kind of frequently-used mathematical tool, which makes it much more convenient to solve problems. In this thesis, Taylor series and its applications are discussed, which includes some use of Taylor series, referring to the expansion from non-elementary function to power series, approximate calculation, inequality proof, calculation of integral and so on. Keywords: Taylor formula; Taylor series; Taylor expansion; approximate; inequality; integral 1 1 引言引言 泰勒级数以在 1715 年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克泰勒来命名, 在数学分析中, 泰勒级数是利用无限项相加来表示一个函数, 这些相加的项由函 数在某一点的导数求得. 3 泰勒级数的相关知识不仅具有重大的理论意义, 而且具有广泛的实用价值. 它与泰勒公式有着密切的联系, 但也存在着一些实质性的区别, 因此, 在学习这 部分内容时, 应该明确地掌握泰勒公式和泰勒级数的相关定义. 就泰勒级数而言, 它对于一些非线性问题来说是一个很好的解题工具. 利用它解题的主要思想是 将非线性问题线性化, 即将一些函数展开成它的泰勒级数, 然后利用所展开的泰 勒级数联系实际问题最终解决问题. 下面就对泰勒级数及其应用做一个简要的介绍. 2 2 泰勒级数泰勒级数 2.12.1 泰勒公式泰勒公式 若函数在上存在直至阶的连续导函数, 在内存在阶导函fba,nba,1n 数, 则对任意给定的, 至少存在一点, 使得 0 ,xxba, 0 ,xx ).( ! )( ! 2 )( )()()( 00 )(2 00 000 xR n xxxfxxxf xxxfxfxf n nn 1 则称为在的泰勒公式. 其中, 为 Lagrange 余1f 0 x )!1( )( )( 1 0 )1( n xxf xR nn n 项. 2.22.2 泰勒级数泰勒级数 若在(1)中抹去余项, 那么在附近可用(1)式右边的多项式来近)(xRn 0 xf 似代替, 如果函数在处存在任意阶的导数, 这时称形式为f 0 xx ! )( ! 2 )( )()( 00 )(2 00 000 n xxxfxxxf xxxfxf nn 2 的级数为函数在的泰勒级数.f 0 x 在实际应用中, 我们更多的是讨论函数在处的泰勒级数, 这时(2)式0 0 x 4 可以写作, 称为麦克劳林级数. n n x n f x f x f f ! 0 2 0 ! 1 0 0 2 ！ 例例 1 1 写出下列函数的麦克劳林级数 ,1x1ln 解解 因, , xxf1ln 00 f , 1 !1 1 1 n n n x n xf . 所以的麦克劳林级数为 !110 1 nf n n x1ln . n xxxx x n n 1 432 1 432 . 2 x1 解解 因, 当为正整数时利用二项式定理就可以写出 10,1fxxf 它的麦克劳林级数; 当不为正整数时, 由于 , n n xnxf 111 所以. 于是的麦克劳林级数为 110nf n x1 . n x n n xx ! 11 ! 2 1 1 2 由上述几道例题知, 一个函数只要在点有任意阶导数, 就有对应的 xf 0 x 泰勒级数. 2.32.3 泰勒展开式泰勒展开式 ( (幂级数展开式幂级数展开式) ) 定理定理 设在点具有任意阶导数, 那么在区间()内等于 1 1f 0 xfrxrx 00 , 它的泰勒级数的和函数的充分条件是: 对一切满足不等式的, 有rxx 0 x .0)(lim xRn n 这里是在处的泰勒公式余项.)(xRnf 0 x 根据上述的定理我们就会知道, 对于一个具有任意阶导数的函数, 它的泰勒 级数是否能够收敛到函数本身, 与函数在的泰勒公式余项有着密切的联系.f 0 x 5 下面我们给出泰勒展开式(幂级数展开式)的概念. 若函数能在的某邻域上等于其泰勒级数的和函数, 则称函数在的f 0 xf 0 x 这一邻域内可以展开成泰勒级数, 并称等式 ! )( ! 2 )( )()()( 00 )(2 00 000 n xxxfxxxf xxxfxfxf nn 的右边为在处的泰勒展开式, 或称为幂级数展开式.f 0 xx 下面我们主要研究函数展开成麦克劳林级数. 因为麦克劳林级数是一种特 殊的泰勒级数, 即当时的泰勒级数. 它不但研究起来更加的方便, 而且也0 0 x 能够体现出泰勒级数的相关性质. 例例 2 2 求下列初等函数的展开式 (1) (2) sinx.; x e 解解 因, , ,(n=1,2,).1 x exf 10 f 10, nxn fexfNn 所以的拉个朗日余项为 下面我们对余项进行放f).10( )!1( )( 1 n x n x n e xR 缩并求出它的极限 , 1 1 )!1()!1( n x n x n x n e x n e xR 而, 因而可以知道. 由定理 1 知0 )!1( lim 1 n x n x n e 0)(lim xRn n , . x e ! 2 1 2 n xx x n ),(x 因 2 ,sin xxf , 00 f ., 2 , 1, 2 sin n n xxf n ,1 , 0 0 1m n f . 1 2 .2 mn mn 同上题一样, 经验证正弦函数的拉格朗日余项的极限为.于是0 6 , .xsin !12 1 ! 5! 3 12 1 53 n xxx x n n ),(x 3 3 泰勒级数的应用泰勒级数的应用 3.13.1 利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式 一般来说, 只有一些相对简单的初等函数, 其幂级数展开式能直接从定义出 发, 并根据定理 1 可求得. 但对于大多数一般的函数来说, 可以从已知的初等函 数的泰勒展开式出发, 恰当的应用变量代换、 逐项求导、 逐项求积以及四则 运算等方法, 间接地求得一般函数的幂级数展开式. 熟记一些常用初等函数的泰勒展开式对我们把其它函数展开成幂级数有很 大的帮助, 也会提高解决问题的效率. 下面就利用泰勒级数来解决具体的问题. 例例 3 3 求非初等函数的幂级数展开式. dtexF x t 0 3 解解 因为的泰勒级数是 x e . ! 3! 2 1 32 n xxx x n 而当时, 它的泰勒级数收敛到它本身, 即,x , ! 2 1 2 n xx xe n x 以来代替展开式中的, 可得 3 x x ex . , ! 1 ! 3! 2! 1 1 3963 3 x n xxxx e n n x 在对上式逐项求积就得到在上的展开式 xF, . 13! 1 10! 3 1 7! 2 1 41 1 131074 0 3 n x n xxx xdtexF n n x t ！ 例例 将函数展为的幂级数并求收敛半径. 2 4 dt t t x xf sin 0 x 7 解解 因为的泰勒级数为tsin . !12 1 ! 5! 3 1253 n ttt t n n 而当时, 它的泰勒级数收敛到它本身, 即t , , !12 1 ! 3 sin 123 n tt tt n n t 所以 , . !12 1 ! 5! 3 1 sin 242 n ttt t t n n 0t 由逐项积分定理得 dt n t x dt t x dt t x dt x dt t t x n n !120 1 ! 50! 300 sin 0 242 . !1212 1 ! 55! 33 1253 nn xxx x n n 显然, 收敛半径 .R 3.23.2 近似计算近似计算 泰勒级数是解决近似计算问题的一个有力的工具. 首先选择一个合适的函 数对利用泰勒级数解决近似计算问题来说是非常重要的, 所以我们应该熟记一 些初等函数的泰勒级数, 其次就是利用泰勒公式余项近似的估计出某些问题的 近似值. 下面就通过一些具体的例题来研究一下到底应该如何使用泰勒级数进行近 似计算. 例例 5 5 求的近似值, 计算到小数点后第三位(误差不超过). 3 10 解解 已知函数的麦克劳林级数是xarctan , .xarctan 12 1 53 1253 n xxx x n n 11x 令, 则有1 , 1 3 1 x 8 6 3 1 12 1 1 3 1 | 12 1|arctan x n n n x n x x ， 1253 3 1 12 1 1 35 1 33 1 3 1 n n n 则 . n n n312 1 35 1 33 1 132 2 利用 Leibniz 级数的余和估计 . 12 1 3 1 2 1 1 n ar n nn 若要, 只需, 由此便可得应取的项数, 即至少取 1000 1 n r 1000 1 12 1 3 1 n n 5n 项满足题意, 当时55n . 143 . 3 729 1 189 1 45 1 9 1 132 例例 求 的近似值并估计误差. 2 6e 解解 已知的麦克劳林级数是 x e ,. ! 2! 1 1 ! 2 0 n xxx n x e n n n x Rx 令有1x , ! 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 1 0 nn e n 这就是 的级数表示, 用它的部分和近似代替 , 则误差为e n k n k S 0 ! 1 e n kk n k n kkk eSe 000 ! 1 ! 1 ! 1 32 1 2 1 1 !1 1 !3 1 !2 1 !1 1 nnnnnnn 9 . nn n nnnn! 1 1 1 1 1 !1 1 1 1 1 1 1 !1 1 2 取时, 即用近似代替数 , 即10n 10 Se , !10 1 ! 2 1 ! 1 1 1e 其误差不超过 . 6 1036 1 36288000 1 10!10 1 例例 近似计算并求误差. 3 72ln 解解 已知对数函数的麦克劳林级数是x1ln , . n xx xx n n 1 2 1 2 1ln1 , 1x 将上式中的用代替可得xx , . n xx xx n 2 1ln 2 1 , 1x 将上面两式相减即得 , 753 2-1ln1ln 753 xxx xxx 或 , . 753 2 1 1 ln 753 xxx x x x 1 , 1x 3 令, 有 Nn n x,1 , 1- 12 1 . n n n n x x1 12 1 1 12 1 1 1 1 将带入中可得 12 1 n x 3 , 53 125 1 123 1 12 1 2 1 ln nnnn n 或 10 . 3 123 1 12 1 2ln1ln nn nn 4 令 已知 由级数得, 1n, 01ln 4 ， 53 35 1 33 1 3 1 22ln 只计算上式前项部分和, 即有4 .69313 . 0 37 1 35 1 33 1 3 1 22ln 753 其误差不超过 . 5 119119 107 39 1 39 1 2 311 1 39 1 2 3.33.3 证明不等式证明不等式 泰勒级数是将函数展开成幂级数的形式, 可以应用于证明不等式. 例例 8 8 证明不等式. ,2 2 2 xeee x xx 证明证明 因为 , , !2 2 2 0 n x ee n n xx ! !2 22 2 0 2 2 n x e n n x 而 , ! !2!2 22 n x n x nn 故 . 2 2 2 x xx eee 3.43.4 应用泰勒级数计算积分应用泰勒级数计算积分 对于一些复杂的积分直接计算很难求出结果, 有时候利用泰勒级数能给某 一类复杂积分的计算带来一些转机, 适当的将被积函数中的某一个或某几个函 数展开成它的泰勒级数, 可以使原本复杂的问题简单化. 11 例例 计算积分. 4 9dx x x 2 1 ln 0 1 解解 通过变形 .xdx x x xdxxdx x xx dx x x ln 10 1 ln 0 1 ln 1 1 0 1 1 ln 0 1 2 2 2 2 2 因为 ,xxx x x xdx n n lnln 1 , 1ln 0 1 2 1 2 2 因此 原式.xdxx n n ln 0 1 1 2 1 对于级数来说, 它在内不一致收敛, 但在上却逐项可积, xx n n ln 2 1 1 , 0 1 , 0 证明如下 首先当时级数通项. 当时, 为等1x0|ln1 1 2 x n n xxu10 xxx n n ln 2 1 比级数, 所以和函数 由此可见 . 1 , 0 , 10 ,ln 1 2 2 x xx x x xS . 1 2 1 11 -1-1ln 01 2 1 lim - S xx xx S x 故该级数非一致收敛. 其次因为, 其中及 n n k nk n x x xx x x x xxxR 2