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第4讲 万有引力与航天 基础知识梳理 一、开普勒行星运动规动规 律 定律内容图图示 开普勒 第一定 律 所有的行星绕绕太阳运动动的 轨轨道都是_，太阳处处在 椭圆椭圆 的一个_上 开普勒 第二定 律 对对任意一个行星而言，它与 太阳的_在相等的时间时间 内扫过扫过 _的面积积 开普勒 第三定 律 所有行星轨轨道半长轴长轴 的 _方跟它的公转转周期的 _方的比值值都相等. k 椭椭 圆圆 焦点 连连 线线 相等 三次 二次 特别别提示：(1)开普勒三定律虽虽然是根据行星绕绕太阳的 运动总结动总结 出来的，但也适用于卫卫星绕绕行星的运动动 (2)开普勒第三定律中的k是一个与运动动天体无关的量 ，只与被环绕环绕 的中心天体有关 适用条件：只适用同一恒星的行星或同一行星的卫星. 即对任何一个恒星（行星）的不同行星（卫星）来说， k值是相同的 课堂练习 1.关于开普勒行星运动的公式 ，以下说法正确的是（ ） A.不同星球的行星或卫星，k值不相等 B.R代表行星自身的半径 C.T表示行星运动的自转周期 D.T表示行星运动的公转周期 D 2.有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比 是1：2，则它们绕运转的周期之比为_。 分析与解：它们的运动遵循开普勒第三定律， 有： 考点1 万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向 在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积 _，与它们之间距离r的二次方_. 2.公式：F=_，其中G为引力常量，G=6.67 10-11 Nm2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定. 成正比成反比 公式推导：把行星运动近似看成圆周运动，利用向心力公式和开普 勒第三定律推导。 3.适用条件：两个_的相互作用. (1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计 算，其中r为_. (2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力 也适用，其中r为_. 质点之间 两球心间的距离 质点到球心间的距离 (3)物体不能看为质点时，可以把物体看为无数个细小质点， 分别求质点之间的万有引力，再求合力 例:如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体 挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球 心和大球体球心间的距离是R/2，求球体剩余部分对 球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.( 用“挖补法”) 分析：万有引力定律只适用于两个质点间 的作用，只有对均匀球体才可将其看作是 质量全部集中在球心的一个质点，至于本 题中不规则的阴影区，那是不能当作一个 质点来处理的，故可用补偿法，将挖去的 球补上. 解析 将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力 ： 半径为R/2的小球的质量： 补上小球对质点P的引力： 因而挖去小球的阴影部分对质点P的引力： 4.万有引力的特性: (1)普遍性:普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体间的吸引 力.是自然界的基本相互作用之一. (2)相互性:两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作 用力,符合牛顿第三定律. (3)宏观性:通常情况下，万有引力非常小,只有在质量巨大 的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的实际意义. 5.引力常量G的测定方法及意义： 卡文迪许扭称实验。 其意义是用实验证明了万有引力的存在，使得万有引力定 律有了真正的使用价值。 推动了天文学的发展. 万有引力定律的应用（一） 一、解释释万有引力与重力的关系 1万有引力对对物体的作用效果可以等效为为两个力 的作用，一个是重力mg，另一个是物体随地球自 转转所需的向心力F向如图图441所示， 图图441 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹 簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一 物体重为0.9P，某星球的平均密度是多少？ 解析：设物体的质量为m，星球的质量为M，半径R；在两极 处时物体的重力等于星球对物体的万有引力，即： 在赤道上，因星球自转物体做匀速圆周运动，星球对物体的万 有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，有： 由以上两式解得： 又： 星球的平均密度： 例与练 万有引力定律的应用（二） 行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力 表面重力加速度：因 则 轨道上的重力加速度：因 则 二、计算天体的重力加速度问题 注意：轨道向心加速度与天体表面重力加速度是不同的。 在轨道上，轨道向心加速度: (r为轨道半径） (R为天体的半径) 1.解决天体圆周运动问题的两条思路 (1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时， 万有引力等于重力，即 =mg，整理得GM=gR2，称为黄 金代换. (g表示天体表面的重力加速度) (2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 万有引力定律的应用（三） 三、估算天体的质量和密度 2.天体质量和密度的计算 (1)估算中心天体的质量. 从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r ，就可以求出中心天体的质量M. 从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g 和半径R，就可以求出中心天体的质量M. (2)估算中心天体的密度. 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由 得 (R0为天体的半径) 若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r=R0，则有 例1.(广东东高考，15)已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球 之间间的距离r,同步卫卫星距地面的高度h,月球绕绕地球的运转转周期 T1,地球的自转转周期T2,地球表面的重力加速度g.某同学根据以上 条件,提出一种估算地球质质量M的方法: 同步卫卫星绕绕地心做圆圆周运动动,由 得 (1)请请判断上面的结结果是否正确,并说说明理由.如不正确,请给请给 出正 确的解法和结结果. (2)请请根据已知条件再提出两种估算地球质质量的方法并解得结结果. 解：（1）上面的结结果是错误错误 的地球的半径在计计算过过程 中不能忽略h不能看成轨轨道半径。正确的解法和结结果是： 得： （2）方法一：对对月球绕绕地球做圆圆周运动动有： 得： 得 ： 方法二：在地球表面重力近似等于万有引力： 有一宇宙飞船到了某行星的表面附近(该行星没有自转运动)， 以速度v绕行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力 常量为G，则可得( ) A.该行星的半径为 B.该行星的平均密度为 C.无法测出该行星的质量 D.该行星表面的重力加速度为 ABD 【解析】选A、B、D.由T 可得：R A正确； 由 可得：M C错误；由M R3 得： B正确；由 mg得：g D正确. 天体质量和密度的估算 【例证1】(2011福建高考)“嫦娥二号”是我国月球探测第 二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均 匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G， 半径为R的球体体积公式V= 则可估算月球的( ) A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期 【解题指南】解答本题时可按以下思路分析： (1)利用万有引力提供向心力列式. (2)结合隐含条件r=R和球体体积公式联立求解. 【自主解答】选A.由万有引力提供向心力有 在月球表面轨道有r=R，由球体体积公式V= 联立解得 月球的密度= 故选A. 天体质量和密度的估算 【例证1】(2011福建高考)“嫦娥二号”是我国月球探测第 二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均 匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G， 半径为R的球体体积公式V= 则可估算月球的( ) A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期 A 【总结提升】中心天体的质量和密度的估算方法 (1)测出中心天体表面的重力加速度g，估算天体质量： =mg进而求得 (2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T，估算天体质量： 若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r=R， 则 【变式训练】(2011江苏高考)一行星绕恒星做圆周运动. 由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G， 则( ) A.恒星的质量为 B.行星的质量为 C.行星运动的轨道半径为 D.行星运动的加速度为 ACD 【解析】选A、C、D.根据周期公式T= 可得r= C对；根 据向心加速度公式a=v= D对；根据万有引力提供向心 力 可得M= A对，B错. 习1.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V0 沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表 面，小球落地时的速度大小为V. 已知该星球的半径为 R，引力常量为G ，求该星球的质量M。 v vo gt 解：小球做平抛运动如图，则有： 设该星球某近地卫星质量为m， 其重力近似等于万有引力： 由以上两式得该星球的质量： 1 2 习2.中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的 密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为 T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维 持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可 视为均匀球体。(引力常数G=6.6710-11N m2/kg2) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受 到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时 ，中子星才不会瓦解。 解：设中子星的密度为，质量为M ，半径为R ，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 由以上各式得 代入数据解得 点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本 题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用 万有引力定律解题惯用的一种方法。 =1.271014kg/m3 万有引力定律的应用（四） 四、解释双星、三星的运行 所谓“双星”系统是指由两个星体组成的天体系统，其中， 每个星体的线度均小于两个星体之间的距离，同时，双星相距相 对较近，且其它天体对此“双星”的万有引力与两星之间的万有 引力相比小得多而可忽略。要使两星球不产生沿连线方向的运动 ，必使两星球沿切线方向做圆周运动。即两星受到彼此之间的万 有引力均绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动 两星之间有什么联系？圆心相同，周期、角速度相同， 万有引力大小相等。但轨道半径可以不同。 习习.(2006广东东高考,17)宇宙中存在一些离其它恒星较远较远 的、由 质质量相等的三颗颗星组组成的三星系统统，通常可忽略其它星体对对 它们们的引力作用.已观测观测 到稳稳定的三星系统统存在两种基本的构 成形式：一种是三颗颗星位于同一直线线上，两颗颗星围绕围绕 中央星 在同一半径为为R的圆轨圆轨 道上运行；另一种形式是三颗颗星位于等 边边三角形的三个顶顶点上，并沿外接于等边边三角形的圆轨圆轨 道运 行.设设每个星体的质质量均为为m. （1）试试求第一种形式下，星体运动动的线线速度和周期. （2）假设设两种形式星体的运动动周期相同，第二种形式下星体 之间间的距离应为应为 多少？ 解析：（1）对对于第一种运动动情况，以某个运动动星体为为研究对对象，根据 牛顿顿第二定律和万有引力定律有： F1+F2=mv2/R 运动动星体的线线速度： 周期为为T，则则有 ： . (2)设设第二种形式星体之间间的距离为为r，则则三个星体做圆圆周运动动的半径为为 由于星体做圆圆周运动动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合 力提供.由力的合成和牛顿顿运动动定律有： 由式得： 由得： 1.卫星的动力学特征： 所有卫星都是行星给它的万有引力作为向心力，即 千万不要把 h当r 关于人造地球卫星 2.卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系卫星运动学特征 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力， 即由 可推导出： 当r增大时 只要知道卫星的一个运动学量，其它运动学量 都能确定。若一个量变化，其它量也变化。 （09年重庆卷）据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器 的圆形轨道距月球表面分别约为200Km和100Km，运动速率分 别为v1和v2，那么v1和v2的比值为（月球半径取1700Km） （ ） A、 B、 C、 D、 C 例与练 习1.假如一做圆周运动的人造卫星的轨道半径r增 为原来的2倍，则（ ） A据v=r可知，卫星的线速度将变为 原来的2 倍 B据F=mv2/r可知，卫星所受的向心力 减为原 来的1/2 C据F=GmM/r2可知，地球提供的向心力减为原 来的1/4 D由GmM/r2=m2r可知，卫星的角速度将变为 原来的1/4 C 习2人造地球卫星A和B，它们的质量之比为 mAmB12，它们的轨道半径之比为21，则下面的结 论中正确的是( ) BC 考点2 三种宇宙速度 宇宙速度 数值(km/s） 意义 第一宇宙速度（ 环绕速度） 第二宇宙速度 （脱离速度） 第三宇宙速度 （逃逸速度） 7.9 11.2 16.7 是人造地球卫星的最小_速 度，也是人造地球卫星绕地球 做圆周运动的_速度. 使物体挣脱_引力束缚的 最小发射速度. 使物体挣脱_引力 束缚的最小发射速度. 发射 最大环绕 地球 太阳 名师师点拨拨：(1)三种宇宙速度均指的是发发射速度，不能理解为环绕为环绕 速度 (2)第一宇宙速度既是最小发发射速度，又是卫卫星绕绕地球做匀速圆圆周运动动的 最大环绕环绕 速度（发发射速度：星箭分离时卫时卫 星的速度） 我国发射了绕月球运行的探月卫星“嫦娥一号”。设该 卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的 质量约为地球质量的1/81，月球的半径约为地球半径的 1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月 卫星绕月运行的速度约为( ) A、0.4 km/s B、1.8 km/s C、11 km/s D、36 km/s 例与练 B 3.地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合. (2)周期一定：与地球自转周期相同，即T24 h86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同. (4)高度一定：据 卫星离地面高度hrR6R(为恒量) 3.6104km. (5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 4.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地 卫星可以实现全球覆盖. (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星 ，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速 度约为7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心. 我国数据中继卫星“天链一号01星”在西昌卫星发射中心发射 升空，经过4次变轨控制后，成功定点在东经77赤道上空的同 步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的 是( ) A.运行速度大于7.9 km/s B.离地面高度一定，相对地面静止 C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 BC 【解析】选B、C.由万有引力提供向心力得： 即线速度v随轨道半径r的增大而减小，v=7.9 km/s为第一宇宙 速度即围绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球 半径大很多，因此其线速度应小于7.9 km/s，故A错；因同步 卫星与地球自转同步，即T、相同，故其相对地面静止，由 公式 因G、M、R均为 定值，故h一定为定值，B对；因同步卫星周期T同=24小时， 月球绕地球转动周期T月30天，即T同月，故C对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有 共同的角速度，由公式a向=r2，可得： 因轨道半径 不同，故其向心加速度不同，D错误. 人造卫星问题的规范求解 【例证2】(12分)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g， 不考虑地球自转的影响. (1)推导第一宇宙速度v1的表达式； (2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，求卫星的运行周期T. 【解题指南】解答本题时应注意理解以下两点： (1)“第一宇宙速度”的含义即轨道半径r与地球半径R相等. (2)地球卫星的周期、线速度、向心加速度均由轨道半径决定. 【规范解答】(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M 在地球表面附近满足 =mg (2分) 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 (2分) 联立式解得v1= (2分) (2)考虑式，卫星受到的万有引力为 F= (2分) 由牛顿第二定律F= (2分) 联立式解得T= (2分) 答案：(1) (2) 【解析】设卫星的质量为m，月球的质量为M0 在月球表面附近，由牛顿第二定律有 得 GM0=R02g0 【互动探究】在【例证2】中，若题干中再加上“已知月球的半 径为R0,月球表面重力加速度为g0，不考虑月球自转的影响.”则 月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为多少？ 卫星做圆周运动，由牛顿第二定律有 联立式得到v月= 同理可得v地= 故 【总结提升】人造卫星问题的解题技巧 (1)利用万有引力提供向心力的不同表述形式： (2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的 关系的桥梁还是牛顿第二定律. 卫星的a、v、T是相互联系的，其中一个 量发生变化，其他各量也随之发生变化. a、v、T均与卫星的质量无关，只由轨道 半径r和中心天体质量共同决定 【变式备选】(2011天津高考)质量为m的探月航天器在接近月 球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量 为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G， 不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) A.线速度v= B.角速度= C.运行周期T= D.向心加速度a= AC 【解析】选A、C月球对探月航天器的万有引力提供探月航 天器在月球附近做匀速圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第 二定律列方程得 =mR2=ma，则探月航天器的线 速度为v= ,选项A正确.其加速度a= ,选项D错误.又 知，在月球附近满足 =mg，因此探月航天器的角速度 = ，其周期为T= 选项B错误，而选项C正确. D 同步卫星离地心距离r，运行速率为v1，加速度为a1， 地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第 一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的 是（ ） A、 B、 C、 D、 AD 例与练 2.卫星的变轨问题 当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气 阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行: (1)当卫星的速度突然增加时， 即万有引力不足 以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨 道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v= 可知 其运行速度比原轨道时减小; (2)当卫星的速度突然减小时， 即万有引力大于 所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道， 轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v= 可知其运行速度比原轨道时增大;卫星的发射和回收就是利用这 一原理. 卫星变轨问题 【例证3】北京航天飞行控制中心对“嫦娥一号”卫星实施多次 变轨控制并获得成功.首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的 ，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施.“嫦娥一号”卫星 的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点 的轨道高度.同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点 实施变轨.如图为“嫦娥一号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨 道2的示意图，下列说法中正确的是( ) A.“嫦娥一号”在轨道1的A点处应点火加速 B.“嫦娥一号”在轨道1的A点处的速度比轨道2的A点处的速度 大 C.“嫦娥一号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的 加速度大 D.“嫦娥一号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的 机械能大 【自主解答】选A.卫星要由轨道1变轨为轨道2在A处需做离心 运动，应加速使其做圆周运动所需向心力 大于地球所能 提供的万有引力 ，故A项正确、B项错误；由 =ma可 知，卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C项错误；卫 星由轨道1变轨到轨道2，反冲发动机的推力对卫星做正功，卫 星的机械能增加，所以卫星在轨道1的B点处的机械能比在轨道2 的C点处的机械能小，D项错误. 【解题指南】解答本题可按以下思路进行分析和判断： (1)要增大卫星的轨道半径时必须加速. (2)卫星的机械能随轨道半径的增大而增大. 易错角度 错误原因 易错选B 误认为在两轨道上的A点处，由 及 r2r1得出v1v2，实际上在不同轨道的同一点必须加 速或减速才能实现变轨，若要增大轨道半径，必须 增大速度. 易错选C 错误选用公式，认为两轨道上的A点处由a= 和 r1a2 ，实际上不同轨道的同一点受力相 同，故加速度大小是相同的. 【总结提升】卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向 心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v= 判断.对易错选项及错误原因具体分析如下： 【变式训练】如图所示，是某次发射人 造卫星的示意图，人造卫星先在近地圆 周轨道1上运动，然后改在椭圆轨道2上 运动，最后在圆周轨道3上运动，a点是 轨道1、2的交点，b点是轨道2、3的交 点，人造卫星在轨道1上的速度为v1， 在轨道2上a点的速度为v2a，在轨道2上b点的速度为v2b，在轨道 3上的速度为v3，则以上各速度的大小关系是( ) A.v1v2av2bv3 B.v1v2av2bv3 C.v2av1v3v2b D.v2av1v2bv3 C 【解析】选C.在a点，由轨道1变到轨道2，是离心运动，这说 明F供F需，而F需 ，因此是加速运动，故v2av1；在 b点，由轨道2变到轨道3，还是离心运动，同理，是加速运动， 故v3v2b，由v= 知v1v3，所以v2av1v3v2b，C正确. 考查内容卫星的追及问题 【例证】两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动， 地球半径为R，地球的质量为M，a卫星离地面的高度等于R，b卫 星离地面高度为3R，则： (1)a、b两卫星运行周期之比TaTb是多少？ (2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则a至少 经过多少个周期与b相距最远？ 【规范解答】(1)对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式 可得：T= 所以TaTb= (2)由= 可知：ab，即a转动得更快. 设经过时间t两卫星相距最远，则由图可得： a-b=(2n-1) (n=1，2，3) 其中n=1时对应的时间最短.而=t，= ，所以 得t= 答案：(1)12 (2) 考点3 经典时空观和相对论时空观 1.经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量不随_而改变； (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测 量结果在不同的参考系中是_的. 运动状态 相同 2.相对论时空观 (1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而 _，用公式表示为m= _. (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间 的测量结果在不同的参考系中是_的. 增加 不同 两种时空观的理解 1.经典时空观认为时间和空间是脱离物质而存在的，是绝对的 ，时间和空间之间也是没有联系的. 2.相对论时空观认为有物质才有时间和空间，空间和时间与物 质的运动状态有关，它们不是相互独立的. 在日常生活中我们并没有发现物体的质量随物体的运动的变