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第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 2. 当未知时均值向量的检验 当p=1时(一元统计)，取检验统计量为 或等价地取检验统计量 1 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 推广到多元,考虑统计量 因 离差阵 2 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 由定义3.1.5可知 利用T 2与F分布的关系，检验统计量取为 3 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1 例3.2.1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一 定的关系.今测量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、钠 的含量(X2)和钾的含量(X3)(数据见表3.1).试检验 H0:=0=(4,50,10)， H1: 0 . 4 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1 解 记随机向量X= (X1,X2,X3),假定XN3(,) . 检 验 H0: 0， H1：0 .取检验统计量为 由样本值计算得: 5 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1 6 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1 对给定=0.05,按传统的检验方法,可查F分布临界值 表得=F3,17(0.05)=3.2,比较由样本值计算得到的F值及 临界值,因F值=2.90453.2,故H0相容. 利用统计软件进行检验时,首先计算p值(此时检验统 计量FF(3,17)： p=PF2.9045=0.06493 . 因p值=0.064930.05=,故H0相容.在这种情况下，可 能犯第二类错误,且第二类错误的概率为 =P F3.2|=X =0.3616 (假定总体均值=10,取1=X). 7 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 在数理统计中关于总体参数的假设检验,通常是利用 最大似然原理导出似然比统计量进行检验.在多元统计 分析中几乎所有重要的检验都是利用最大似然原理给 出的.下面我们回顾下最大似然比原理. 作出判断,这就是假设检验问题.称H 0 为原假设( 或零假设)，H 1为对立假设(或备择假设). 设p维总体的密度函数为f(x,),其中是未知参数， 且(参数空间)，又设0是的子集,我们希望对下 列假设： 8 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 从总体X抽取容量为n的样本X(t)(t=1,n).把样本的联 合密度函数 记为L(X;),并称它为样本的似然函数. 引入统计量 9 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 是样本X(t)(t=1,n)的函数,常称为似然比 统计量.由于0是的子集,即分子分母,从而 01. 直观考虑,若H0成立时,值应近似为1.如果取 值太小(即分子分母),由最大似然原理,说明 H0为真时观测到此样本X(t)(t=1,n)的概率比H0 为不真时观测到此样本X(t)(t=1,n)的概率要小 得多.故有理由认为假设H0不成立,所以从似然比 统计量出发,以上检验问题的否定域为 (X (1),X (n), 10 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 按传统计的检验方法,是由显著性性 水平确定的临界值,它满足在H0成立时有 ： P(X (1),X (n)=. 为了得到,必须研究似然比统计量的 抽样分布.在一些特殊的情况下,的精确分 布可以得到;但很多情况得不到的精确分 布. 11 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 当样本量很大且满足一定条件时, -2ln的抽样分布与2分布十分接近.下面不 加证明地给出一条很有用的结论. 近似服从自由度为f 的2分布,其中 f =的维数-0的维数. 定理3.2.1 当样本容量n很大时， 12 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 我们来导出当未知时检验均值向量=0 的 似然比统计量，并讨论它的分布. 在第二章2.5中已经导出：以上比式的分母当 =X,=A/n时达最大值，且最大值为 设样本的似然函数为L(,).检验均值向量=0 的似 然比统计量为 13 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 比式的分子当 A0 时达最大值，且最大值为 故 以下来推导似然比统计量与T2的关系： 14 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 利用分块矩阵行列式的性质(见附录4推论4.1)有: 15 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 所以 即 16 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验- 似然比统计量 其中 否定域: 其中 注意以上“ ” 仅代表拒绝域相同 17 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 -置信域与联立置信区间 在一元统计中,讨论均值的假设检验问 题与求均值的置信区间,虽提法上不同,实 质上是等价的. 下面介绍单个多元正态总体均值向量 置信域的有关概念,它可以作为一元统计 中置信区间的推广. 18 1. 置信域 假设X(t)(t=1,2,n)来自p元正态总体 Np(,)(未知)，由前面的讨论可知 或者 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 -置信域与联立置信区间 19 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 -置信域与联立置信区间 任给置信度1-,查F分布临界值表得F 满足 PFF=1-, (3.2.1) 则均值向量的置信度为1-的置信域为 该置信域是一个中心在X上的椭球. 20 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 -置信域与联立置信区间 当检验假设H0:=0时，若0落入 该置信域内，即 则在显著性水平下，H0相容；若0没有落入该置信 域内，则否定H0. 可见在多元统计中，讨论均值向量的假设检验问题实 质上也等价于求均值向量的置信域. 21 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 -置信域与联立置信区间 2. 联立置信区间(不要求) 以上介绍如何构造均值向量的置信域: 在实际应用中,我们往往更需要考察的线性组 合的联立置信区间. 对任意的p维常向量a,考虑a的置信区 间,便能够得到所要的联立置信区间.比如 取a=ei=(0,1,0), i =ei(i=1,p) 22 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 -置信域与联立置信区间 考察i (i=1,p)的的联立置信区间.下面的定理 给出有用的结论. 定理3.2.2 假设X(t)(t=1,2,n)为来自 p元正态总体Np(,)(0未知)的随机样 本，则对所有的向量a,区间 包含a的概率为1-(其中F满足(3.2.1)式). 23 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 当p1时，因 且相互独立，故有 1. 两总体协差阵相等(但未知)时均值向量的检验 设X()(1,n)为来自总体XNp(1),)的随机 样本；Y()(1,m)为来自总体Y Np(2),) 的随机样本,且相互独立,未知.检验 24 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 取检验统计量为 t (n+m-2) (在H0成立时) ,即 25 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 推广到p元总体,检验统计量的形式类似,可考虑以下检 验统计量T2： 其中A1和A2是两总体的样本离差阵.它们是一元统计中 的偏差平方和(X(i)-X)2在p元情况下的推广.以下来证 明统计量T 2 T 2 (p,n+m-2). 因 26 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 由Wishart分布的可加性知 A1+ A2Wp(n+m-2,)， 由T2统计量的定义3.1.5可知 27 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 利用T2与F的关系，检验统计量取为 可以证明T2 (或F)统计量是检验以上假 设H0的似然比统计量.(见习题3-10) 28 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 利用T2与F的关系，检验统计量取为 可以证明T2 (或F)统计量是检验以上假 设H0的似然比统计量.(见习题3-10) 29 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 2. 两总体协差阵不等时均值向量的检验 在一元统计中(p=1时)，当12 22时,检验H0：(1) (2)也没有很好的方法，以下介绍实用中的几种方法 . 当n=m时,作为成对数据进行处理. 令Z(i)=X(i) -Y(i) (i=1,n)，化为单个p元总体Z的均值检 验问题 H0：(1)(2) H0： Z0 利用前面介绍的方法进行检验. 注意：在这里两组样本相互独立的信息没有利用. 30 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 当nm时(不妨设nm)：想法也是化为单个p元 新总体的均值检验问题.若只取n对数据按方法处理, 又将损失一些信息.改进的办法是利用X(i) (i=1,n)和 Y(j) (j=1,m)，构造新总体Z的样本Z(i) ，令 可以证明： 31 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体 所以Z(i) N p(1)-(2),Z) (i1,n)，且相互独立.利 用前面介绍的单个正态总体均值向量的检验方法进行 检验. 当1 , 2相差甚大时, 可构造近似检验统计量进 行检验(见参考文献1). 其中 32 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 多个正态总体均值向量的检验问题也称为多元方差 分析 . 设有k个p元正态总体Np(t),) (t1,k)，样品 (t1,k,1,nt )是来自Np(t),)的随机样本 ，检验 H0:(1)(k)，H1:至少存在ij使得(i)(j) (即(1),(k)中至少有一对不等). 当p=1时,此检验问题就是一元方差分析问题,比如比 较k个不同品牌的同类产品中一个质量指标X(如耐磨度) 有无显著差异的问题,我们把不同品牌对应不同总体(假 定为正态总体),这种多组比较问题就是检验问题. 33 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 从第i个总体抽取容量为ni的随机样本如下 (i=1,k;记n=n1+n2+nk)： 34 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 从第i个总体抽取容量为ni的随机样本如下 (i=1,k;记n=n1+n2+nk)： 35 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析(p=1) 直观考察,若H0成立(即k个总体均值无显著差异),当 总偏差平方和SST固定不变时,应有组间偏差平方和 SSA小,而组内偏差平方和 SSE大,因而比值SSA/SSE应 很小. 检验统计量取为 给定显著性水平,按传统检验方法,查F分布临界值表 得F满足： PFF,否定域WFF . 36 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 推广到k个p元总体Np(t,) (假定k个总体的协差阵相 等，且记为)，记第i个p元总体的数据阵为 对总离差阵进行分解： 37 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 其中 称为组间离差阵. 故交叉项=O 称为组内离差阵. 38 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析 根据直观想法及用似然比原理得到检验H0的统计量为 由Wishart分布的