D102对坐标曲线积分.ppt

第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 （一）定向曲线 曲线上动点的移动通常有两种，如果规定一种走向为 “正向”，那么另一种反向移动称为“负向”这种规定了 方向的曲线（即规定了正负向的曲线）称为定向曲线 定向曲线的定义 例规定曲线L沿A移动到B为正向，则L 是定向曲线，记，则负向记为 注：确定定向曲线只需找到始点和终点 定向曲线的表示 注：非定向曲线参数表示为 这里一定有 而定向曲线表示当从 连续变到 时，描出由点A 移动到点B的定向曲线L显然都可能 定向曲线的切向量 光滑曲线上每一点都有切向量，而且都有两个方向， 对定向曲线的切向量也要定向，要求切向量的的方向总 与曲线的走向（曲线的方向）相一致 若曲线为 当 则切向量为 当 则切向量为 （二）对坐标的曲线积分的概念 设一质点受如下变力作用 在 XOY 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动 常力沿直线所作的功 到点 B,求移动过程中变力所作的功W. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1引例: 变力沿曲线所作的功. (1) “大化小 ”. (2) “常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为F 沿则 用有向线段 上任取一点在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) “近似和” (4) “取极限” 其中 为 n 个小弧段的最大长度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义. 设 L 为XOY平面内从 A 到B 的一条有向曲线, 在L 上定义了一个向量函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在L 上沿的L 方向任意插入一点列 把L 分成n个有向小弧段 记 点 为有向弧段上任意一点,若极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 存在, 在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分, 则称此极限为向量函数 或第二类曲线积分. 其中 L 称为积分弧段称为被积函数 , 或积分曲线 . 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分 . (2) (1)由定义知 物理意义： 沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功 为方向为x-轴正向的力 沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功 力 注: 物理意义： 为方向为y-轴正向的力 沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功 物理意义： 故由第二类曲线积分的物理意义也得 (3) 中 是有向弧在x-轴上的投影;是有向弧在y-轴上的投影 而在对弧长的曲线积分中乘的是弧长 故(A) (图1) 可正, 可负(图2). (图2) 图3中 (图3) (B)定积分是第二类曲线积分的特例. (C)对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 若 为空间有向曲线弧 , 2*. 定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量函数 定义在有向曲线弧上. 若极限 存在.在有向曲线弧 上对则称此极限为函数 或第二类曲线积分.坐标的曲线积分, 记作 （三） 性质 (2) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (3) 用L 表示 L 的反向弧 , 则 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)线性性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 定理:在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：把对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的下限 一定是始点对应的参数，上限一定是终点对应的参数，而 不管上限是否大于下限这与对弧长的曲线积分不同 对应参数设分点 根据定义 由于对应参数 同理可证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 下面先证 如果 L 的方程为 则 对空间光滑曲线弧 : 类似有 定理 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中L 为沿抛物线 解 法一 取 x 为参数, 则 从点 的一段. 例1. 计算其中L 为沿抛物线 解 法二 取 y 为参数, 则 从点 的一段. 注：由该题可以知道对坐标的曲线积分没有对称性 例2. 计算其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为则 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 作用 , 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设质点 处受力 的大小与M点对 原点的距离成正比，方向指向原点，求质点由 沿椭圆逆时针移动到求力做的功W 由题意知 则 其中 例. 求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 的参数方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 设在力场 作用下, 质点由 沿移动到 解: (1) (2) 的参数方程为 试求力场对质点所作的功. 其中为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设有向光滑弧 L 以弧长为参数的参数方程为 则有向光滑弧L切向量的方向余弦为 由计算公式有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中是有向弧L在 (1)若记 则 两类曲线积分的联系 切向量的方向余弦 注： 是有向弧L在处单位切向量. 在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分故向量函数 若记 则有 例：设定向曲线 L 参数方程为 方向余弦为 若切向量为 切向量为若 ，则 (3)要注意是定向曲线的切向量必须与曲线的方向一致 ，则 ，则 其中 (2)将第二型转化为第一型曲线积分关键是求 定向曲线的切向量的方向余弦，这可以通过求切向量得到 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 令 记 A 在 t 上的投影为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例. 设 曲线段 L 的长度为s, 证明续, 证: 设 说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分. 在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 例将积分 化为对弧长的积 分, 解： 其中L 沿上半圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法一： 又 所以切向量为，所以 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法二曲线参数化为 由 得 切向量为 故 即 故 1. 定义 2. 性质 (1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) L 表示 L 的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向! 内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原点 O 的距离成正比, 1. 设一个质点在处受 恒指向原点,沿椭圆此质点由点 沿逆时针移动到 提示: (解见 P139 例5) F 的大小与M 到原 F 的方向 力F 的作用 , 求力F 所作的功. 思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 备用题 1. 解: 线移动到 向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比. 沿直 求 F 所作的功 W. 已知