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返回上页页下页页目录录 第七节 方向导数与梯度 第七章 (Directional Derivative and Grads) 一、方向导数 二、梯度 三、小结与思考练习 Date1 返回上页页下页页目录录 一、方向导数 定义 若函数 则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 Date2 返回上页页下页页目录录 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 故 定理 Date3 返回上页页下页页目录录 对于二元函数 为, ) 的方向导数为 特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向 向角 Date4 返回上页页下页页目录录 解: Date5 返回上页页下页页目录录 解: Date6 返回上页页下页页目录录 二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： Date7 返回上页页下页页目录录 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点处的梯度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量定义 Date8 返回上页页下页页目录录 解: 解: Date9 返回上页页下页页目录录 Date10 返回上页页下页页目录录 内容小结 1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 l (方向角为 Date11 返回上页页下页页目录录 2. 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为 3. 关系 方向导数存在偏导数存在 可微 梯度在方向 l 上的投影. Date12 返回上页页下页页目录录 作业 习 题 7-7 P108 4; 7; Date13 返回上页页下页页目录录 思考练习 1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 . Date14 返回上页页下页页目录录 曲线 1. (1) 在点 函数沿 l 的方向导数 M (1,1,1) 处切线的方向向量 解答提示: Date15 返回上页页下页页目录录 Date16 返回上页页下页页目录录 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 提示 : 则 (96考研) 2. 函数 Date17 返回上页页下页
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