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二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第三节 无穷小与无穷大 当 一、 无穷小 定义1 . 若时 , 函数则称函数 如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小 . 时为无穷小. 说明: 时 , 函数(或 ) 则称函数为(或 ) 则 时的无穷小 . 1、定义中的极限包括六种情况。 2、无穷小是对自变量的某一变化过程而言的 是时的无穷小（由于 定义1. 若 比如： 而当 时，就不是无穷小量，由于 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 3、无穷小量是极限为0的变量，不是很小的数，即： 4、0是无穷小量，但是无穷小量不都是0. 比如：但是函数处处不等于0. 其中 为 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 当时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 时, 有 无穷小的性质 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当时 , 有 当时 , 有 取则当 因此 时， 均为无穷小量，但 如 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设即当 时, 有 取则当时 , 就有 故即是时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是的渐近线 . 推论3. 无穷小除以极限不为零的变量仍是无穷小. 都是无穷小,引例 .但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较 定义. 若则称 是比 高阶的无穷小, 若 若 若 或 设是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作 二、 无穷大 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式的 x , 总有 则称函数当时为无穷大, 使对 (正数 X ) , 记作 总存在 若在定义中将 式改为 则记作 注意: 3. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 4. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 1. 对数列也适用. 2. 和无穷小量一样，无穷大量也是在自变量的 某一变换趋势而言的。 例如, 函数 当 但 所以时 , 不是无穷大 ! 例 . 证明 证: 任给正数 M ,要使 即 只要取则对满足的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 三、无穷小与无穷大的关系 若为无穷大,为无穷小 ; 若为无穷小, 且 则为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 内容小结 1. 无穷小与
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