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一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 第9.1.4节 任意项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理9.1.7 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数收敛 , 且其和 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散收敛收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理9.1.8. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而收敛 , 收敛 因此绝对收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 令 因此收敛,绝对收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和 . 说明: 证明这里从略. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 设级数与都绝对收敛, 其和为 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 设正项级数收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 ,发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p级数 (2) 发散 , 故原级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (
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