D15函数的极限、无穷小无穷大、极限运算法则-h.ppt

主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是 否与一常数无限接近,即形如： 函数的极限 第三节 第一章 本节内容：定义与性质 一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 时函数极限的定义 引例. 描述性定义（粗略地）： 设函数在 附近（去心）有定义：当 无限接近于 时 的值无限接近于一个常数 ，称 为 当 时的极限。 定义1 . 设函数 在点的某去心邻域内有定义 , 当时, 有 则称常数 A 为函数当时的极限, 或 即当 时, 有 若 记作 极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 这表明: 几何解释: 例1. 证明 证: 故对任意的当时 , 因此 总有 例2. 证明 证: 故取当时, 必有 因此 例3. 证明 证: （分析：欲使 取 则当 时, 必有 因此 只要 即 ） 不妨令 ，要使得 只要 即可， 练习. 证明: 当 证: 欲使且 而可用 因此 只要 时 故取 则当时, 保证 . 必有 2. 保号性定理 定理1 . 若且 A 0 , 证: 已知即当 时, 有 当 A 0 时, 取正数 则在对应的邻域上 ( 0 , 一切满足 的 x , 总有 称函数当时为无穷大 。 ，使对 类似可定义 (正数 X ) ,总存在 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! （P42. Ex 6） 例如, 函数 但 不是无穷大 ! 例 . 证明 证: 略。见P40 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 铅直渐近线 说明: 三、无穷小与无穷大的关系 若为无穷大,为无穷小 ; 若为无穷小, 且 则为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2 练习 P42 ex 1 , 5 P42 题*3 提示: 作业 P42 4 (1) ; 8 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节极限运算法则 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 证: 由定义得 设 则 当时 , 有 当时 , 有 取则当 因此 这说明当时,为无穷小量 . 例如， ( P56 题 4 (2)；P49 题1（12）见课件 注：Th1 1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 2. 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设即当 时, 有 . 取则当时 , 就有 故 即是时的无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设即当 时, 有 . 取则当时 , 就有 故 即是时的无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 练习 . P31 Ex 5 推论 2说明 ： 无限个无穷小的乘积未必是无穷小 . 例1. 求 P48. 例8 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是的渐近线 . 二、 极限的四则运算法则 则有 证: 因则有 (其中为无穷小) 于是 由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3-1 . 若 推论: 若且 则( P46 定理 5保号性 ) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 为无穷小 定理 3-2 若且 B0 , 则有 证: 因有 其中 设 由极限与无穷小关系定理 , 结论可得。 因此 为无穷小, 定理 3-2 . 若则有 说明: 定理 3-2 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 .( C 为常数 ) 推论 2 .( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式试证 证: 定理 3-3 若且 B0 , 则有 证: 略见P44；或者见本课件最后一页。 定理4 若则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .（已经在第二节讲过） 例3. 设有分式函数 其中都是 多项式 ,试证: 证: 说明: 1. 不能直接用商的运算法则，如例4、例5 要先化简，或者通过求倒数的极限。 若 例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子0 , 例4. x = 3 时分母为 0 ! 例6 . 求 解: 分子分母同除以则“ 抓大头” 原式 一般有如下结果： 为非负常数 ) ( 如 P47 例5 ) ( 如 P47 例6 ) ( 如 P47 例7 ) 三、 复合函数的极限运算法则 定理5. 设且 x 满足时, 又则有 证: 略 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取则当时 故 因此式成立. 定理5. 设且 x 满足时, 又则有 说明: 若定理中则类似可得 例7 . 求 解: 方法 1则令 原式 方法 2 内容小结 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 ) 时, 对型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法设中间变量 Th1Th2 Th3-1 Th3-2 Th3-3 Th5 练习题 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件 矛盾. 解: 原式 2. 问 3. 求 解法 1 （分子有理化） 原式 = 解法 2 （换元） 令则 原式 = 作业 P49 1 (3)，(5)，(7)，(9), (14) 2 (2) 3 (2) 5 思考题 1. 设 解: