Chapter7常微分方程.ppt

Chapter 7 常微分方程 Ordinary Differential Equation 函数本身未知，一些变数对另一些变数的依 存规律也是未知的。 不同于微分学中的问题： 微分方程(Differential Equation)理论发展于 17世纪，对于数学，特别是数学的应用，它所 具有的重要意义：很多物理问题与技术问题的 研究可以化为微分方程的求解问题。 问题产生的背景：18世纪物理问题，包括弹性理论 ，弹簧，摆，引力，月球的运动理论等等。 微分方程理论在力学、物理学、天文学等自然 科学与技术科学的各领域，甚至生物学、医学 、经济学等社会科学领域中有广泛应用，成为 解决工程实际问题的强有力的工具。 例如：电子计算机于无线电装置的计算，弹道 的计算，飞机在飞行中的稳定性的研究，人口 控制等问题。 n基本概念； n可分离变量的方程； n一阶线性方程； n可解出导数的一阶隐式方程； n可降阶的二阶微分方程； n常系数二阶线性齐次微分方程的解法； n常系数二阶线性非齐次微分方程的解法； n用常数变易法求解二阶线性非齐次方程； n常系数线性微分方程组。 1 基本概念 n问题的提出； n微分方程的定义。 一. 问题的提出 解： 例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时 获得加速度求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 微分方程问题主要来源于几何学，力学和物理学 ，但现在应用于自然科学和工程技术的各个领域 ，包括生物，医学，经济学等。 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. (本章内容) 分类 二.微分方程的定义 常微分方程(Ordinary Differential Equation) 定义1 偏微分方程(Partial Differential Equation) ( n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 或 当未知函数是多元函数时，微分方程称为偏微分 方程(Partial Differential Equation) PDE 一阶常微方程 二阶常微方程 一阶偏微方程 二阶偏微方程 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某 些导数(或微分)之间的关系式. 线性与非线性微分方程. 定义2 定义3微分方程的解的分类： (1) 通解(general solution): 微分方程的解中 含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程 的阶数相同. 通解有时也写成隐函数的形式 称为通积分(general integral) (2)特解(special solution): 确定了通解中任 意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 通解: 特解: 例3. 验证函数 是微分方程 的解, 的特解 . 解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 定义4 微分方程不恒等于零的解称为方程的非 零解，或