求函数极值的若干方法-本科毕业论.doc

贵州师范学院毕业论文 学科分类号 110 本 科 毕 业 论 文 题 目 求函数极值的若干方法 姓 名 张成银 学 号 1106020540066 院 (系) 数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 11级 指导教师 李晟 职 称 副教授 二一 五 年 五 月贵州师范学院本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年 月 日目 录摘 要1Abstract2引言31 一元函数极值问题31.1一元函数极值的定义31.2 一元函数极值的求解方法31.2.1 导数法31.2.2 配方法41.2.3 实例分析52 二元函数极值问题82.1 二元函数极值的定义82.2 二元函数极值求解的一般方法82.2.1 二元函数取得极值的条件82.2.2 二元函数一般求解步骤92.2.3实例分析92.3 二元函数条件极值的求解113 函数的极值在经济生活中的应用12结语15参考文献16致 谢17摘 要函数极值是函数很重要的性质之一，求函数极值的问题既是一个培养学生逻辑思维能力的问题，又是一个学以致用、解决生产科研问题的数学方法。并且，在生产、生活中，生产者和消费者经常以利润为主，把实际问题按要求达到最大和最小的优化，形成一定的有效理论，实现效用最大的目标。本文主要是研究并归纳当函数极值分别为一元函数或者为二元函数时，用简单的定义求解其极值的方法和函数的极值在经济生活中的运用。关键词：函数极值；极大值；极小值AbstractThis is one of the very important function of the extreme nature of the function, seeking not only a problem of function extreme cultivation of students logical thinking ability, but also a apply their knowledge to solve mathematical problems of production and research. And, in the production, life, producers and consumers often profit-oriented, practical issues required to achieve the maximum and minimum optimization, a certain effective theory, to achieve the goal of maximum utility. This paper is to study and concludes when the function extremum were unary function or if a binary function, with a simple definition of solving its extreme value approach. And extreme functions used in economic life.Keywords: function extremes; maxima; minimum value引言函数极值的求解是当代数学研究不可或缺的重要内容，在中学的基础学习、大学的理论学习和实际应用中都占有重要的地位，是推动微积分发展的要素之一，在解决实际问题中也占有极其重要的地位，在科学技术和社会生活的各个领域中都充满了函数极值问题。当前在函数极值问题的讨论研究中已经有了不少的见解，并且在很多学术论文及期刊中,理论和实践已经达到了广泛、透彻的认识和运用。1 一元函数极值问题1.1一元函数极值的定义定义1设函数在的一个邻域内有定义，若对该邻域内异于的恒有：，则称为函数的极大值，称为的极大值点；，则称为函数的极小值，称为的极小值点。函数的极大值、极小值统称为函数的极值。极大值点，极小值点统称为极值点。1.2 一元函数极值的求解方法1.2.1 导数法 利用一阶导数，根据函数极值的第一充分条件列表求函数的极值点。定理12（极值的第一充分条件）：设函数在的一个邻域内可微（在处可以不可微，但必须连续），若当在该邻域内由小于连续变为大于时，其导数改变符号，则为函数的极值，为函数的极值点，并且(1)若导数由正值变为负值，则为函数的极大值点； 当时，所有的都满足，而当时，所有的都满足，如果上述两个条件都成立时，那么我们就可以得出在处可以取得最大值。(2)若导数由负值变为正值，则为函数的极小值点。当时，所有的都满足；当时，所有的都满足，如果上述两个条件都成立时，那么我们就可以得出在处可以取得最小值。(3)若导数不变号，则不是函数的极值点。当 时，的符号一直不会改变，即所有的都满足或所有的都满足，那么在这种情况下我们可以得出在处不能取到极值的。 运用该定理时，函数的一般步骤是：（1）确定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；（2）考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；（3）求出极值点处的函数值，得到极值。利用二阶导数，根据函数极值的第二充分条件列表求函数极值点：定理22（极值的第二充分条件）：设函数在处的二阶导数存在。若，则为函数的极值点，为函数的极值，并且（1）当时，则为函数的极小值点，为函数的极小值；（2）当时，则为函数的极大值点，为函数的极大值。运用该定理求函数极值点的一般步骤是：（1）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点；（2）考察函数二阶导数在驻点出的符号。定理32设函数在的某个邻域内存在直到阶的导数，在点处阶是可以求导的，并且成立，那么（1）当为偶数的时候，在处可以取到极值，并且如果时,我们可以在点处取到极小值，如果时， 极大值点在点取到。（2）当为奇数的时候，在这种情况下在点处的极值是我们取不到的。1.2.2 配方法 在高中，数学中曾讲了二次函数的图像是一条抛物线，从图像中可以分析出：（1）当时，函数图像的抛物线口向上，它的纵坐标由递减到递增，这个顶点的纵坐标相当于极小值。（2）当时，函数图像的抛物线口向下，它的纵坐标由递增到递减，这个顶点的纵坐标相当于极大值。因此，欲求二次函数的极小值或极大值只需求得该函数的顶点坐标，我们用配方法将写成，那么该二次函数的顶点坐标即为。（1）当时，该坐标值即为极小值。（2）当时，该坐标值即为极大值。1.2.3 实例分析例13求函数的极值。解：方法1 ：利用第一充分条件判断。（1）确定定义域：定义域为；（2）求出导数；（3）求出在定义域内的全部驻点与不可导点（可能极值点）令，得到在定义域内的驻点为，驻点将定义域分成了四个区间，分别为；（4）考察在定义区间内的符号： 通过计算可知，当时，；当时，；当时，；当时，。因此，由一元函数极值的第一充分条件可知，是极小值点，和都是极大值点，（5）计算极值：极小值；极大值，极大值。为了方便起见，整个解题过程用表1表示。表1.1极大值极大值方法2：利用第二充分条件进行判断。（1）确定定义域：定义域为；（2）求出导数和：；（3）确定在定义域内的全部驻点：有方法1可知函数在定义域内的驻点为（4）考察在驻点处的符号：因为，所以由一元函数极值的第二充分条件可知，是极小值点，都是极大值点。（5）计算极值：极小值；极大值。例2 求的极值。 解：求得，可以知道是函数的三个驻点。求的二阶导数，直有，由此可知在时取得最小值。由定理3，求得三阶导数，有，但由于是奇数，所以在处不取得极值。四阶导数，有，由于为偶数，所以在处取得极大值。有上面可知：是极大值，是极小值。例3 某商场以每件50元的价格购进一批冬衣，如果以每件100元销售，每个月可以卖出300件，根据市场销售变化可知，如果单价上涨1元时，该商品每月的销量就减少10件。（1）写出每个月卖出衣服的利润（元）与上涨价格（元）件的函数关系式？（2）当衣服单价定为多少元时，每月卖出衣服的利润最大？解：（1） (元)（2）设售价定为元，则销售利上式可得 所以当单价为90元时，最大利润为16000元。答：函数关系式为，当单价定为90元时得到最大利润，最大利润为16000元。例4 求函数的最小值。解：欲求，只需使被开方数的值最小，而为非负数，则取最小值的充要条件是，故当时有。例5 求函数的极值。解：的定义域且， ； 令，得到驻点，； 因，；故是极大值，是极小值。 由上可以知道，配方法适用于次数为二次的一元函数，而定义法和导数法更适合于次数大于二次的一元函数。2 二元函数极值问题2.1 二元函数极值的定义定义2设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：（1）若满足不等式 ，则称函数在有极大值；（2）若满足不等式 ，则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。由定义可以看出，函数的极大值，极小值问题是一个“局部性”的概念，也就是说，是函数的极值点与邻近所有的点的函数值的比较，不能说明是整个区间内的最大值和最小值，极值只能在区间内部取得，不能在区间端点处取得。2.2 二元函数极值求解的一般方法2.2.1 二元函数取得极值的条件定理1 2（必要条件）设函数在点具有一阶偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，。证明：不妨设在点处有极大值， 则对于的某领域内任意都有,故当，时，有， 说明二元函数在处有极大值，必有 。类似地可证 。 和一元函数的方法类似，只要能使一阶偏导数同时为零的点，都称为函数的驻点。注：驻点不等于极值点例如，点是函数的驻点，但不是极值点。定理22（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，且有二阶的连续偏导数，又， 令，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，当时，函数在点有极大值；当时，函数在点有极小值；（2）时，函数在点没有极值；（3）时，函数在点可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。定理34如果二元函数满足点处的某邻域内具有二阶的偏导数且是连续的，而且是的稳定点，那么当是正定的矩阵的时候，可以判定在处取到极小值；当的判定是负定矩阵的时候，在取到极大值；当是不定矩阵，在处不取得极值，其中。 2.2.2 二元函数一般求解步骤（1）解方程组，求出实数解的驻点；（2）对于每个驻点，求出二阶偏导数的值A、B、C。（3）定出的符号，再判定是否是极值。2.2.3实例分析例6 求的极值。解： ， ， 令 得到，解得驻点为，；在中， 所以，非极值； 在中， 所以为极值点； 又，所以为极小值。例7 求由方程确定的函数的极值。 解： 将方程两边分别对求偏导由函数取极值的必要条件知，驻点为，将上面方程组分别再对求偏导数， ，故 ，函数在有极值，将代入原方程，有，。当时，所以为极小值；当时，所以为极大值。 例8 求二元函数的极值。解：先求驻点由 解得，所以驻点，求矩阵,因为 ， ， ， ， 所以， 。由此可知是正定的，所以在点取得极小值。由例题可以知道，二元函数的求解与多元函数的求解相差不大，多元函数的求解是二元函数的延伸，我们在解题时，要掌握求函数极值的定理，灵活运用。2.3 二元函数条件极值的求解 求出偏导数及，找出偏导数不存在的点，解方程 ，找出稳定点。（1）利用二阶偏导数的判别式判定是否为极值点，是极大值还是极小值；（2）对求出的极值点确定极值。二元函数条件极值 （函数）；（3）构造拉格朗日函数（4）解联立方程，求出稳定点（5）针对判断是否为极值点，是极大值点，还是极小值点；或根据实际问题或几何意义直接判断。（6）求出极值。2.3.1 实例分析例9 求函数，在条件下的极值。解：设方程组得，；即驻点有两个：，； 由于函数在闭圆周上连续且不为常数，故取得极大值和极小值，因此，分别为极小值和极大值。3 函数的极值在经济生活中的应用 函数的极值问题在日常生活中发挥了很大的经济效益，在生产成本问题、利润最大问题、最省库存等问题中，有很重要的应用，在多种决策的选择中具有主导作用。经济学中很多求最优量的问题，如产量、收益、成本等一系列问题的最优值的求解，函数极值都可以很好的运用。例10 某企业生产某种产品件的总成本为（单位：百元），市场对该产品的需求规律为。其中是每件产品的价格（单位:百元/件），求生产产品多少时(a)使平均成本达到最低，最低平均成本是多少?(b)获得最大利润，最大利润是多少？(c)获得最大利润时的产品定价是多少？ 解：（1）由得 令得，取 （舍去）得到惟一驻点。 故当产量 时，可使平均成本最低，其值为 （百元/件）。（2）由得，于是，从而，令 ，得（件）惟一驻点，所以当件时，可获得最大利润，最大利润为（百元）。（3）因为件时利润最大,由得获得最大利润时产品定价是（百元/件）。 例11 某公司生产某型号的产品，设年产量为件，分若干批生产，每批生产准备费为元，若产品均匀投放市场，即库存了的平均数为批量的一半。假设每件产品库存一年所需费用为元。在不考虑其他因素的情况下，问每批生产多少件产品，可以使库存费和生产准备费之和最省？解：设批量为，库存费和生产准备费之和为的函数关系是 ，令 ，得 （舍去负值）得惟一驻点 ，故每批生产件时，可使库存费和生产准备费之和最省。例12 某公司可通过电台和报纸两种方法做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费（万元）之间的关系有如下经验公式： ，在广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获得利润最大。解： 利润等于收入与费用之差，利润函数为：=根据极值存在的必要条件，令 ；得 ， ，即驻点为 ，利用函数在驻点处的矩阵 ,可以知道矩阵为负定矩阵，所以在驻点处达到极大值，也是最大值，即最优广告策略为：电台广告费用和报纸广告费用分别为万元和万元，此时可获得最大利润。 结语函数极值的求解贯穿在我们的生活中，