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二、 两个重要极限 一、数列极限（函数极限）的夹逼准则、 单调有界收敛准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 第一章 一、数列极限存在的夹逼准则 准则I ：若数列 xn , yn 和 zn 满足下列条件: 则数列 xn 的极限存在且 证： 故 相应的函数极限存在的夹逼准则 准则I且 利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存 在的夹逼准则证明. 圆扇形AOB的面积 二、 第一个重要极限 证: 当 即 时， 显然有 AOB 的面积AOD的面积 B 单位圆 例1. 解: 例2. 解: 则因此 原式 例 3. 解: 原式 = 例4. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 注: 计算中注意利用 三、单调有界数列的收敛准则 准则II ：单调有界数列必有极限。 相应的单调有界函数的收敛准则 准则II ：设函数 f (x)在 x0 的某个左邻域内单调并且 有界，则函数 f (x)在 x0的左极限 f ( x0- ) 必存在。 若数列xn满足 则称数列xn单调增加； 若数列 xn 满足 则称数列xn单调减少；单调增加和单调减少的数列 统称为单调数列。 四、 第二个重要极限 证明思路: 1. 首先证明数列xn是单调有界数列从而极限存在， 其中, 2. 其次利用夹逼准则证明 3. 再用变量代换法证明 4. 联合上面两个结论可得 先证： 第一步，证明数列xn是单调增加的。 易见 , 第二步, 证明数列xn有界. 从而, 其中我们用了不等式(数学归纳法) 于是, 由单调增加和有界性知数列xn 极限存在, 记 下证: 函数极限 一方面, 当 x 0 时, 设则 则从而有 故 时, 另一方面, 当 令 例5. 解: 则 另证:则 原式 利用 小结 1. 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则 2. 单调有界数列必有极限 在点 x0 的某左(右)邻域内单调且有界的 函数有左(右)极限 3.
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