数列练习题及答案百度文库

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 28 数列练习题及答案百度文库 重 难 点 突 破 1、教学重点：会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。 掌握数列解题的基本思想及解题方法。 2、教学难点：会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。 热 点 考 点 题 型 探 析 例 1、设 b?0,数列 ?足 a1=b,数列 ?通项公式； , ?2n?2 证明：对于一切正 整数 n,an?n?1?1 2 解 :由 b?2时 , 1 可得 ?, ?2n?2b 1,则数列 是以 ?为首项 ,为公差的等差数列 ,?,从而 21 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 28 当 b?2时 ?, 2?b 则数列 是以 ?为首项 ,为公比的等比数列 ,12?,?an?n,2, ?n 综上 ?n ?2?bn 当 b=2 时 ,n?1+1?2,?an?n?1+1,从而原不等式成立 ; 22 b?2时 ,要证 an?n?1+1,只需证 n?+1,即证 ?+, 22?2n?bn 证 n?1n?2?+,n?32n?2n?1n?1n 2?2b?2b?2b?2n?22n?321证 n?n?n?1?n?2?2?2?3?n?n?1, 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 28 n?12上式左边 =? ?n?当 b?2 时 ,原不等式也成立 ,从而原不等式成立 . 例 2、已知数列 ?前 n 项和为 满足： a1?a，? 求数列 ?通项公式； 成等差数列，若存在 k? N，使得 ，试判断：对于任意的 m?N，且 m?2， * * ， 是否成等差数列，并证明你的结论 . 解：由已知： ? ?，两式相减得?，又 a2?以当 r?0时数列 ?： a， 0， 0，0， ， ? 当 r?0,r?1 时，由已知 a?0，所以 ， n?N，于是 a n?2 ?1?r, a 所以数列 a2,等比数列，即当 n?2 时 an?r 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 28 n?2 n?1?a 综上数列 ?通项公式为 n?2 ra,n?2? 对于任意的 m?N，且 m?2， ， 成等差数列，证明如下： 当 r?0时由知 ? ?a?0 * n?1n?2 ，此时 ， 成等差数列； 当 r?0,r?1 时，若存在 k? N，使得 ， 成等差数列，则 2k?1+2?0 ，由知数列a2,公比 r?1?2，于是对于任意的 m?N， * 且 m?2， ?2?4以 2am=+即 ，成等差数列； 综上：对于任意的 m?N，且 m?2， ， 成等差数列。 例 3、已知两个等比数列 满足 a1?a，b1?， b2?， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 28 ? b3?. 若 a?1，求数列 通项公式； 若数列 一，求 a 的值 . 设 公比为 q，则 ?a?2， ?q， ? ?2， 即 q?4q?2?0，解得 ?所以 通项公式 2 2 2， ?2 n?1 或 2 n?1 . 2 设 公比为 q，则由 ?，得 a?1?0* 由 a?0 得 ?4a?4a?0，故方程有两个不同的实根 . 由一，知方程必有一根为 0，代入得 a? 2 2 1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 28 . 例 4、等比数 列 ?各项均为 正数，且2,设 bn?.?数列 ? 2 3 2 ?1? ?的前 n 项和 . b?n? 2 解：设数列 公比为 q，由 q? 1 。 由条件可知 a0,故 q? 1。 1。 由 2 得 2，所以 数列 通项式为 1。 n bn?.?故 n 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 28 2 1211?2 111111112n?.?2?.?)? n?1 所以数列 12n 的前 n 项和为 ? 例 5、已知数列 通项公式分别为n?6， n?7 写出 c1,c2,c3, 求证：在数列 ，但不在数列 的项恰为a2,； 求数列 通项公式 . 解： ,1,2,3 ； 任意 n?N，设 ?3?6?6n?3?k?7，则k?3n?2，即 * ? 假设 n?6?k?7?k?3n? 1 ， ?N* 2 在数列 、但不在数列 的项恰为a2,。 2?2?7?6k?3?， ?6k?5， k?6， k?7 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 28 k?3?6k?5?6k?6?6k?7 当 k?1 时，依次有b1?a1?c1,b2?c2,a2?c3,b3? ?6k?3?6k?5? ,k?N* ?6k?6?6k?7 例 6、已知数列 ?足： 且 ? 2?n?1?an?n 求证 ：数列 ? ?n? ?1?为等比数列，并求数列 ?通项公式； ?证明： ?.?n?n?2 123n 解：由题得： =2 即 ?2故2? ?n?1?n?n?1?1?1 即数列 ?为等比数列， 3分 ?n?1?n? n?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 28 n?1?1?1?2?n?1? ?， ? an?n?n 7 分 22?1? n 由上知 ? 8 分 ? ?.?n?n?0?1?2?.?n?1123n?1 ?1?n? ?1?2?n? 1?2 ?1? ?n?2? ?2? ?n?2。 111，成等比数列 7、已知公差不为 0 的等差数列 首项为 a，且求数列 通项公式； 对 n?N，试比较 * 11111 ?2?3?.?n 与的大小 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 28 211)? ：设等差数列 公差为 d，由题意可知 ?而 d 2 2 因为 d?0,所以 d?a1?a. 故通项公式 an?解：记 111 ?,因为 na 1 n) 1111111 所以 ?1?n 1?2 从而，当 a?0 时， 11；当 a?0时 , * 例 8、在各项均为负数的数列 ，已知点在函数 y x 的图象上，且 3 a2 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 28 求证：数列 等比数列，并求出 其通项； 若数列前 n 项和为 n，求 827 数列练习题 一、填空题 1 各项都是正数的等比数列 公比 q?1,a5,a7,公比 q= 已知等差数列 公差d?0,a1,a5,等比数列，则 a1?a5? a2?a6? 已知数列 足 + 1 2 4已知二次函数 f=,当 n=1,2, ， 12 时，这些函数的图像在 x 轴上截得的线段长度之和为 通项公式为 an=它的前 n 项之积为 n的前 n 项之和为 7一种堆垛方式，最高一层 2 个物品，第二层 6 个物精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 28 品，第三层 12 个物品，第四层 20 个物品，第五层 30 个物品， ，当堆到第 n 层时的物品的个数为 8已知数列 1， 1， 2， ，它的各项由一个等比数列与一个首项为 0 的等差数列的对应项相加而得到，则该 数列前 10项之和为 9在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 10已知整数对的序列如下：， ，则第60个数对为 11设等差数列 前 n 项和是 0 2若 等比数列， 512，24 ， 且 公 比 q 为 整 数 ， 则 于_ 13在数列 ， ，当 n2 时，a1 an=成立，则 2214设 首项为 1 的正项数列，且 ， 则它的通项公式是 通项公式为 +2+,求前 n 项和。 2已知数列 公差 d 不为零的等差数列，数列公比为 q 的等比数列， ,0,6,，求公比 q 及 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 28 3已知等差数列 公差与等比数列 公比相等，且都等于 d,a1= b3, an, 4 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为 36， 求这四个数。 ， a=15， 5，求 通项公式 ， 3，前 n，且 参考答案 一、填空题 1? S?1?41?1?1aa?n?1n?1?4?减得故 11112x1?4? . 13 5. n 7. n+n ?6 10. 规律：两个数之和为 n 的整数对共有 。在精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 28 两个数之和为 n 的 整数对中，排列顺序为，第 1 个数由 1 起越来越大，第 2 个数由 来越来越小。设两个数之和为 2 的数对方第 1 组，数对个数为 1；两个数之和为 3的数对为第二组 ，数对个数 2; , 两个数之和为 n+1的数对为第 n 组，数对个数为 n。 1+2+10=55 ， 1+2+11=66 ? 第 60 个数对在第 11 组之中的第 5 个数，从而两数之和为 12，应为 2 20?a1?211 200 a 1 a a 16=20， 1020=200 12 512 a a=124，又 a a= aa= 512， 故 a， a 是方程 124x 512=0的两个 根 于是，a= 4， a=128，或 a=128， a= 4 由于 q 为整数，故只有a= 4， a=12 因此 4 28 ， q= 2所以 a284=512 61 13 16 a 1 aa n= a 1 aa n 1 =2 61?n?3?5? ? 16 ?4?n?1?两式相除，得所以， a a=?2? 222 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 28 1 14 n所给条件式即 a n 1 n a n=0，由于 a n 1 a n 0，所以 a n 1= na n， 1 又 a 1=1，故 na n=a n 1=a n 2=2a= a 1=1 ， a n=n 二、解答题 1122 Sn=a1+ +3+2+=+27 ?2n?1?n 1?2222)+1+3+=1?3 a1,d,5d 由 为等比数例，得 = d, 即d,2d,8d. q=4 又由 的第 =3d4,a1+d=3d4 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 28 4 2 3. b, ?d=3?d= 5 11?54d /, 得 1?3d=2， d=1 或 d=5,由题意，d=5,。 an=a1+d=5bn=- a ,a,aq?a q 则 ?a ?a?16?q ?a?36? 由 ，得 a=216,a=6 3 代入 ，得 36,q=2 这四个数为 3， 6， 12， 18、 3 5， 5 ， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 28 设 公差为 d， 则 9， 即 =9， d= 2 3 分 4 分 7 分 因此，当 d=时， d=n 3， d= 2 时， d= n 13， 6、 3?2d?11a?11?10 22d 又 3， 813 52d=0 解得 d= 2 、 d = n 15 ?,?2n?15?0 由 ?0.?1315 即 ?2?15?0，解得 2n2. 由于 n?N，故 n=7 当 n=7时， 大值是 1? 7?2?d?7?13? 2?2?49 9 分 3 分 5 分 7 分 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 28 10分 13分当 数列综合练习题附答案 一、选择题 1在等差数列 ，已知 2， 13，则A 40B 4 C 43D 45 前 n 项和为 1，则数列公 32差是 1 1 C 2D 2 2已知数列 足 1 1 且 a29，则 3 11 A 5B C 已知 等差数列， 正项等比数列，公式q1 ，若 A B a6上都有可能 已知 a0， b0， A 为 a， b 的等差中项，正数 G 为 a，b 的等比中项，则 A G B G D 不能确定 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 28 1 4各项都是正数的等比数列 公比 q1 ，且等 2数列，则 . 1 1 1 B. C. 22 D. 5 1 1 22 5已知数列 足 1， 1， 1 |an1|，则该数列前 2011项的和等于 A 1341 B 6C 1340D 1339 6数列 公差不为 0 的等差数列，且 a3、连续三项，则数列 公比为 1 A. B C 2D. 27已知数列 等差数列，若 的最大值 n 为 A 11B 1C 20 D 21 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 28 等差数列 ，其前 n 项和是 ， 是 . .将 正整数 1,2,3， ， 入 nn 方格中，使得每行、每列、每 条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做 n 阶幻方记 f 为 n 阶幻方对角线上数的和，如右表就是一个 3 阶幻方，可知 f 15，则 f 12 n 2 D n 1 若数列 足： 1 1且 2，则 于 1 B C 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 28 9数列 等差数列，公差 d0 ，且 0， 等比数列，且 A 0B 1C D 8 设数列 以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， 以 1为首项， 2为公比的等比数列，则 A 1033B 1034C 20D 2058 10在圆 x y 10x 内，过点有 n 条长度成等差数列的弦， 12 最短弦长为数列 首项 长弦长为 公差 d ， ?， 33?那么 n 的取值集合为 A 4,5,6C 3,4,5 B 6,7,8,9 D 3,4,5,6 2 2 2 在数列 ， 1 a，若平面上的三个不共线的非零向量，满足 点 A、 B、 C 共线且该直线不过 O 点，则 A 100 B 100C 2010D 2012 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 28 第 卷 二、填空题 13已知 1， 成等差数列， 1， 成等比数列，点 M， N，则线段 14已知正项数列 首项 1，前 n 项和为 以为坐 1 标的点在曲线 y上，则数列 通项公式为_ 2 15已知 ?0 ， ? ，且 的 ?2?2?值为 _ 16秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近 30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 已知 1， 2，且 2 1 n ，则该医院 30 天入院治疗流感的人数共有 _人 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则 a b c 的值为 _. 三、解答题 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 28 17 公差为 1 的等差数列， 公比为 2 的等比数列， 别是 前 n 项和，且 a645. 求 通项公式；若 Pn n 的取值范围 已知数列 前 n 项和 22n，数列 前 n 项和 3 11 求数列 通项公式； 设 数列 前 n 项和 4318数列 前 n 项和记为 1， 121 求 通项公式； 等差数列 各项为正数，前 n 项和为 15，又 1 已知数列 n 项和为 1， 1 n. 3 求 值；求 通项公式；求 19在各项均为负数的数列 ，已 28知点在函数 y的图象上，且 a2 327 求证：数列 等比数列，并求出其通项； 若数列前 n 项和为 n，求 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 28 已知 2，点在函数 f 2x 的图象上，其中 n 1,2,3， . 证明数列 等比数列； 设 ，求 通项 20数列 通项为 否存在最大项？证明你的结论 21已知 f f， f， ， f 是首项为 比为 m 的等比数列 求证：数列 等差数列； 若 数列 前 n 项和为 m 2 时，求 若 是否存在正实数 m，使得数列 每一项恒小于它后面的项？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 22数列 前 n 项和为 n 求数列 通项公式； 若数列 足： 通项公式； 13 13 13 1 求数列 前 n 项和 已知数列 等比数列 足： 4， 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 28 2， 1，且数列 1 等差数列， nN* 通项公式； 必修五数列练习题答案 1、 A、 3、答案 x y 7 014、 n 15、 答案 16、 255217、 解析 由题意得 a 5 43?1?4 ?， 3 n 2. ?109 2? 10a 45?b 2?1?21 2?1 2 3 n?n 2 3?5n