《高数下册总复习》PPT课件.ppt

期末考试复习重点 （1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的 切平面 （2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、 复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值 （3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标） （4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关 第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。 （5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛域、求级数求和函数。 （一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线， 空间曲面的切平面 （1）设 则 （2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线 要点：I：曲面在某点处的切平面 （1）设曲面方程为 第一步：计算 第二步：计算曲面的法向量 第三步：分别写出切平面和法线的方程 （2）设曲面方程为 第一步：取 第二步：计算曲面的法向量 第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程 要点II：空间曲线的切线与法平面 （1）设空间曲线 的方程 第一步：确定点 第二步：计算 第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法 平面的方程 （2）设空间曲线 的方程 解设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 3、典型例题 例2：设直线 L 和平面 的方程分别为 则必有（ ） 解： C 例3：求曲面上同时垂直于平面 与平面 解：取 的切平面方程。 设切点为 例:(1)已知曲线 在点P处的切线平行于 平面 ，求P点的坐标 （二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值 （1）多元函数在某点的定义域、极限和连续 要点：I：求二元函数在某点的极限 1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则 2、利用有界函数与无穷小乘积的性质 3、利用变量对换化为一元函数极限 4、利用夹逼准则与两个重要极限 例：求下列函数的极限： 解： 求极限 解： 求极限 （1）多元函数的定义域、极限、连续 要点：I：求二元函数在某点的极限 （二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值 （1）多元函数的定义域、在某点的极限、连续 要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数 （二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值 典型例题 例1：设 求 解： 典型例题 例2：设求 解： 典型例题 例3：设求 解： 二元函数的连续性 要点：III：多元函数的连续性 (2) 讨论函数 在(0,0)的连续性 例： 讨论函数 在(0,0)的连续性 解取 其值随k的不同而变化， 极限不存在 故函数在(0,0)处不连续 （2）方向导数、复合函数求导（高阶）、 隐函数的求导、多元函数的微分 要点：I、方向导数 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算； III ：隐函数的偏导数的计算； 例1：设 答案： IV ：多元函数全微分的计算； 例2：函数 在点 处沿哪个方向 的方向导数最大？并求方向导数的最大值. 例1：设 例3：设求 例3：设求 解： z x y u x y u 例4：设 答案： 要点：I、方向导数 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算； III ：隐函数的偏导数的计算； IV ：多元函数全微分的计算； （2）方向导数、复合函数求导（高阶）、 隐函数的求导、多元函数的微分 例3：设是由方程 解：两边取全微分 所确定的二元函数，求 整理并解得 例3：设是由方程 解：两边取全微分 所确定的二元函数，求 整理并解得 拉格朗日乘数法： （1）构造拉格朗日函数： （2）联解方程组，求出问题 1 的所有可能的极值点。 问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。 （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题 中往往可根据问题本身的性质来判断。 （3） 条件极值。 例1：在椭球面 上，求距离平面 的最近点和最远点。 解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点 则该点到平面的距离为 问题1：在约束条件 下，求距离 d 的最大最小值。 由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题 1 转化为下面的等价问题 问题2：在条件下，求函数 的最大最小值。 问题1：在约束条件 下，求距离 d 的最大最小值。 （1）作拉格朗日函数 （2）联解方程组 （1）作拉格朗日函数 （2）联解方程组 求得两个驻点： 对应的距离为 例1：在椭球面 上，求距离平面 的最近点和最远点。 解： 问题1：在约束条件 下，求距离 d 的最大最小值。 求得两个驻点： 对应的距离为 （3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距 离和最远距离均存在。所以 最近距离为最远距离为 三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标） 重点内容 （1）二重积分在直角坐标下的计算； 例1：计算二重积分 答案： 三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标） 重点内容 （2）二重积分中二次积分的交换次序； 答案: 例2：试证： （3）利用极坐标计算二重积分； 再根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分 化为累次积分。 例3:计算 由直线 y = x 及曲线 所围平面区域。 （4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分； 在二重积分的计算过程中，要注意对称性。 例5：计算 其中 D 由直线 y = x , y = 1 , 及x = 1 所围平面区域 四、第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分格林公式、 高斯公式。 （1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法； （2）基本公式 格林公式 高斯公式 主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分 主要作用：将曲面积分转化为三重积分 （3）基本应用： 1. 格林公式和高斯公式的两类典型应用题： 2. 平面曲线积分 “ 封口法 ” 和 “ 挖洞法 ”。 与路径无关 在单连通区域 G 内 （4）基本计算技巧 1. 利用对称性； 2. 利用曲线或曲面方程化简被积函数； 3. 利用关系式 将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分； 4. 利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简 化平面曲线积分。 例1：设椭球面 的表面积为a，则 20a 提示：利用曲面方程及对称性 例2：设 则 提示：利用曲线方 程及对称性 0 例3： 提示：利用高斯公式及 椭球体的体积。 例4：设 f (x) 在 ( 0 , + ) 上有连续的导数，L 是由点 提示：利用积分与路径无关，并取新路径： A ( 1 , 2 ) 到点 B ( 2 , 8 ) 的直线段，计算（30） 例5：计算 由抛物面与圆柱面 及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。 提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标 例6：计算 再由坐标原点沿 x 轴到 B (2 , 0)。 解： 其中，L 为由点 A (1 , 1) 沿曲线 到坐标原点， 分析：应用格林公式 补充： 五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、 幂级数的收敛域，幂级数求和函数。 （1）数项级数收敛性判别 1. 正项级数 比较判别法，比值判别法，根值判别法， 收敛的必要条件 几何级数、P 级数和调和级数 2. 交错级数： 莱布尼茨定理 3. 任意项级数： 绝对收敛和条件收敛。 任意项级数收敛性判断的一般步骤： （1）检验 （3）用正项级数审敛法检验是否收敛？ 则原级数绝对收敛，从而收敛， （4）若发散，但是用比值或根值法判断的 则原级数也发散。 是否成立？ 若否，则原级数发散 若是或 难求，则进行下一步； 若是， 否则，进行下一步； （2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步 （5）用性质或其它方法。 （2）幂级数的收敛半径和收敛域 求幂级数 （1）利用极限 （2）判定幂级数在端点 确定收敛半径 R 及收敛区间 处的收敛性， 收敛域的一般步骤： （3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。 说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。 （2）对幂级数 要先做变换 （3）求幂级数的和函数 求幂级数 （1）利用极限 （2）判定幂级数在端点 确定收敛半径 R 及收敛区间 处的收敛性， 收敛域的一般步骤： （3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。 说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。 （2）对幂级数 要先做变换 性质3：幂级数 逐项积分后所得级数 的和函数 s (x) 在收敛域 I 上可积，并有逐项积分公式 其收敛半径与原级数相同。 （3）求幂级数的和函数 性质4：幂级数 逐项求导后所得级数 的和函数 s (x) 在收敛区间 内可导， 并有逐项求导公式 其收敛半径与原级数相同。 说明：求和函数一定要先求收敛域。 典型例题 例1：若幂级数在 x = - 2 处收敛， 则此幂级数在 x = 5 处（ ） （A）一定发散。