D4-1不定积分概念及性质.ppt

请倒背求导公式 1 第四章 微分法: 积分法: 互逆运算 不定积分 2 二、 基本积分公式 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四章 3 说是的导数. 已知求其导数为 现在反过来说， 是的原函数 . 求其原函数 已知 4 1.原函数的定义：如果在开区间I内， 可导函数 的 即都有， 或 那么函数称为f(x)在区间I上的原函数. 例如 导数为 的原函数. 是在区间上的原函数. 一、 原函数与不定积分的概念 则说 是在区间 上的原函数.则说 5 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若函数的原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 简言之： 连续函数一定有原函数. 2.原函数存在定理 即在I内一定存在可导函数 结论:初等函数在定义区间上有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一呢？ (2) 若不唯一， 它们之间有什么联系？ 如： 又如： 6 3.原函数结构定理： 证:(1) (2) 由原函数的结构定理可知： 如有原函数就有无数个. 所以,知其一个原函数就知全部. 7 定义 2. 在区间 I 上的全体原函数称为 上的不定积分,其中 积分号; 被积函数; 被积表达式. 积分变量; 有定义知：若 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 ! 例如： 记作 4.不定积分的概念 8 例1. 解: 解: 例2. 注意:若在提出问题时不指明区间， 则在解题时通常也 不指明求出的原函数所适用的区间， 只要确有区 间，就有使得 9 例3. 解: 例4. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 (1, 2) , 故有 因此所求曲线为 显然， 求不定积分得到一积分曲线族. 10 的原函数的图形称为 的图形：的所有积分曲线组成的平行曲线族. 的积分曲线 . 5.不定积分的几何意义 称为函数的积分曲线族. 特点:任何一条积分曲线都可以 由某一条沿y轴方向平移得到， 并且积分曲线族上对应于同一 坐标x的各点处有相同的斜率 11 由不定积分定义可知: 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的. 6.微分法与积分法的关系 如： 或 或 先积后微,函数不变. 先微后积,函数加C. 12 1 2 3 4 5 二、 基本积分公式 (P188)利用逆向思维 ( k 为常数) 13 请大家熟记以上公式请大家熟记以上公式 6 7 8 9 10 11 12 13 基 本 积 分 公 式 表 (1) 注意：以上公 式在被积函数 的连续区间内 成立,本章常把 这个区间省去 不写,第五章自 然要考虑这个 区间. 14 例1. 求积分 解: 根据积分公式 例2. 求 解: 原式 = 例3. 求 解: 原式= 15 三、不定积分的性质 证明 (此性质可推广到有限多个函数之和的情况) 推论(线性性) : 16 解: 注意1： 注意2： 分项积分后,只需写出一个常数. 检验积分结果是否正确 , 例4. 求积分 看它的导数是否等于被积函数. 原式= 只需对结果求导, 解: 例5. 17 解: 例6. 直接积分法： 通过恒等变形,利用线性性把所给积分变成 公式中有的形式， 求出积分的方法. 解: 例7. 18 解:原式= 例8. 原式=解: 例9. 19 原式=解: 例10. 例11. 解:原式 20 解:原式= 例12. 例13. 求 解: 原式 = 21 解: 例14. 求 原式 = 例15. 22 例16. 解: 例17. 解: 23 内容小结 1. 不定积分的概念: 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质-线性性 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 ,代数公式 积分性质 作业:P192 2(14)(15)(18)(20)(22)(23)(24)(26);5 ;7. 预习:P193-P200背积分公式 24 基本积分公式(见P188) (13