FIR数字滤波器的设计方法-2.ppt

第7章学习目标 掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较 本章作业练习 P370: 1 7 9 第7章 FIR数字滤波器的设计方法 IIR数字滤波器： 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性 FIR数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统 可用FFT计算 但阶次比IIR滤波器要高得多 7.1 线性相位FIR滤波器的特点 FIR滤波器的单位冲激响应： 系统函数： 在 z 平面有N 1 个零点 在 z = 0 处是N 1 阶极点 h(n)为实序列时，其频率响应： 1、线性相位条件 即群延时 是常数 第二类线性相位： 第一类线性相位： 线性相位是指 是 的线性函数 第一类线性相位： 第一类线性相位 的充要条件： n = (N 1) /2 为h(n)的偶对称中 心 第二类线性相位 的充要条件： n = (N 1) /2 为h(n)的奇对称中心 2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点 系统函数： 由 频率响应： 1）h(n)偶对称 为线性相位，称第一类线性相位 相位函数： 频率响应： 2）h(n)奇对称 相位函数： 为线性相位，称第二类线性相位 3、幅度函数的特点 1）h(n)偶对称，N为奇数 幅度函数： 其中： 其中： 可以设计低通、高通、带通、带阻滤波器 2）h(n)偶对称，N为偶数 幅度函数： 其中： 其中： 故不能设计成高通、带阻滤波器 3）h(n)奇对称，N为奇数 幅度函数： 其中： 其中： 只能设计带通滤波器 4）h(n)奇对称，N为偶数 幅度函数： 其中： 其中： h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和 900移相器。不能设计低通、带阻滤波器。 4、零点位置 得： 由 1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点 2）h(n)为实数，则零点共轭成对 线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对 1） 零点： 2） ，即零点在单位圆上 零点： 3） ，即零点在实轴上 零点： 4） 即零点既在实轴上，又在单位圆上 零点： 7.2 窗函数设计法 7.2.1 设计方法 w(n)：窗函数序列 要选择合适的形状和长度 2、设计过程 以低通滤波器为例讨论： 线性相位理想低通滤波器的频率响应： 其理想单位抽样响应： 中心点为 的偶对称无限长非因果序列 取矩形窗： 则FIR滤波器的单位抽样响应： 按第一类线性相位条件，得 加窗处理后对频率响应的影响： 时域乘积相当于频域卷积 而矩形窗的频率响应： 理想滤波器的频率响应： 其幅度函数： 则FIR滤波器的频率响应： 幅度函数： 加窗函数的影响： 不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩 峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度 。 在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少 改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主 瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状 决定，称为吉布斯(Gibbs)效应。 7.2.2 各种窗函数 窗函数的要求： 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 以减小肩峰和波纹 矩形窗 主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大 窗谱： 幅度函数： 三角形（Bartlett）窗 主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小 窗谱： 幅度函数： 汉宁（Hanning）窗 （升余弦窗） 主瓣宽度宽： 旁瓣幅度小 幅度函数： 海明（Hamming）窗 （改进的升余弦窗） 主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小 幅度函数： 布莱克曼（Blackman）窗 （二阶升余弦窗） 主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小 幅度函数： 凯泽（Kaiser）窗 ：第一类变形零阶 贝塞尔函数 窗函数 窗谱谱性能指标标加窗后滤滤波器性能指标标 旁瓣峰值值 /dB 主瓣宽宽度过过渡带宽带宽阻带带最小衰减 /dB 矩形窗 三角形窗 汉汉宁窗 海明窗 布拉克曼窗 凯泽凯泽 窗 -13 -25 -31 -41 -57 -57 2 4 4 4 6 0.9 2.1 3.1 3.3 5.5 5 -21 -25 -44 -53 -74 -80 阻带最小衰减只由窗形状决定 过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关 7.2.3 窗函数法的设计 1、设计步骤 （1）给定频响函数 （2）求出单位抽样响应 （3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数 基本参数表（P342表7-3）确定窗的形式及N的 大小，一般N要通过试探而最后确定； （4）最后求 及 (5) 求H(e j)=DTFTh(n)，检验是否满足设计要 求，如不满足，则需重新设计。 2、设计举例 例：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的 FIR 低通滤波器，具体要求： 其他 并画出相应的频响特性 解：（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出 （2）确定N 由于相位函数 ，所以 呈 偶对称，其对称中心为 ，因此 （3）加矩形窗 则有 可以求出h(n)的数值，注意偶对称，对称中心 n 12 24 由于h(n)为偶对称，N=25为奇数，所以 例如 H(0)=0.94789，可以计算H()的值， 如下图 （4）加汉宁窗 由于 可以求出序列的各点值 通过 可求出加窗后的h(n) 相应幅度函数可用下式求得： 如H(0)=0.98460，如下图 7.3 凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计 上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等 ，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且， 每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽 窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。 凯泽在1966发现，利用第一类零阶修正（ 变形）贝塞尔函数可以构成一种近似最佳的窗 函数。凯泽窗定义为： 1、 定义 其中 是一个可自由选择的参数。 为第一类零阶修正贝塞尔函数， 可同时调整主瓣宽度与旁瓣; 越大，频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加； 相当于矩形窗; 凯泽窗随 变化的曲线如下图： 2.特点 通常选择，它们相当于旁瓣与主 瓣幅度比为 3.1%-0.047%； 注：第一类零阶修正贝塞尔函数为 由图可以看出, 为对称中心，且是偶对称, 即 3.凯泽经验公式 该公式可使filter设计人员根据filter的设计指 标，估算出 值和 N 值。 且 ：通带截止频率，由 定; ：阻带截止频率，由 定. 过渡带宽度 例：利用凯泽窗设计一FIR低通filter，要求 解： 4设计举例 取37 将N=37, =5.653代入 表达式，得 0 37 0.0 1.000 0.0204 0.02 1 36 1.8336 2.030 0.0415 0.04 2 35 2.5568 3.345 0.0704 0.07 8 29 4.6548 19.96 0.4082 0.41 3 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.15 5 32 3.8656 10.11 0.2067 0.21 6 31 4.1678 13.10 0.2679 0.29 7 30 4.4286 16.44 0.3362 0.34 17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98 9 28 4.8512 23.83 0.4873 0.49 10 27 5.0215 27.73 0.5671 0.57 11 26 5.1682 31.72 0.6489 0.65 12 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.80 14 23 5.4838 41.93 0.8575 0.86 15 22 5.5515 44.67 0.9135 0.91 16 21 5.6017 46.74 0.9558 0.96 18 19 5.6515 48.90 1.0 1.00 048 12 16 18192529333621 n 0123456 37363534333231 -0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.01848 0.020.040.070.110.150.210.27 -0.00024 0.00051 6 0.00096-0.0016-0.00230.00350.0049 7891011121314 3029282726252423 -.01965-.021520.02379-.02659-.03013-.034770.041090.05022 0.340.410.490.570.650.720.800.86 -0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.043 15161718 22212019 -0.06451-0.090400.15070.4520 0.910.960.981.00 -0.059-0.0870.1480.45 的图形如下所示 凯塞贝塞尔窗参数对滤波器的性能影 响 过渡带宽 (/N ) 通带波纹 (dB) 阻带最小衰 减(dB) 2.1203.000.27-30 3.3844.460.0864-40 4.5385.860.0274-50 5.5687.24 0.00868-60 6.7648.64 0.00275-70 7.865 10.0 0.000868-80 8.96011.4 0.000275-90 10.05610.8 0.000087-100 5、线性相位FIR低通滤波器的设计 解：1）求数字频率 例：设计一个线性相位FIR低通滤波器， 给定抽样频率 ， 通带截止频率 ， 阻带起始频率为 ， 阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示 2）求hd(n) 4）确定N 值 3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB） 5）确定FIR滤波器的h(n) 6）求 ，验证 若不满足，则改变N 或窗形状重新设计 6、线性相位FIR高通滤波器的设计 其单位抽样响应： 理想高通的频响： 7、线性相位FIR带通滤波器的设计 其单位抽样响应： 理想带通的频响： 8、线性相位FIR带阻滤波器的设计 其单位抽样响应： 理想带阻的频响： 7.4 频率抽样设计法 1、设计方法 对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值 窗函数设计法： 窗函数设计法是从时域出发，把理想的 用一定 形状的窗函数截取成有限长的 ，以 来近似 从而使频响 近似理想频响 。 频率取样法是从频域出发，对理想的频响 进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响 ， 内插公式： 例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想 低通滤波器，截止频率为0.5，抽样点数为N=33， 要求滤波器具有线性相位。 解 ： 按频率抽样方式，N=33，得抽样点 得线性相位FIR滤波器的频率响应： 过渡带宽： 阻带衰减：-20dB 过渡带抽样的优化设计 增加一点过渡带抽样点 令H(9)=0.5 过渡带宽： 阻带衰减：-40dB 增加两点过渡带抽样点 且增加抽样点数为N=65 令H(17)=0.5886 H(18)=0.1065 过渡带宽： 阻带衰减：-60d