[信息与通信]IIR数字高通滤波器的设计说明.doc

University of South China数字信号处理课程设计题 目 IIR数字高通滤波器的设计说明 学院名称 电 气 工 程 学 院 指导教师 班 级 学 号 学生姓名 2010年6月7日目 录摘 要31 IIR数字高通滤波器的设计41.1 数字滤波器的概述41.2 数字滤波器的设计步骤41.3 数字滤波器的技术指标51.4 模拟滤波器的设计71.4.1模拟滤波器的介绍71.4.2 巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计71.5 数字滤波器的设计81.5.1 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器81.5.2 频带变换设计IIR数字高通滤波器101.6 IIR巴特沃斯数字高通滤波器的实例计算122 软件仿真工具及实现环境简介142.1 计算机辅助设计方法142.2 工作环境简要的介绍152.3 MATLAB直接设计IIR巴特沃斯数字高通滤波器163 滤波器结构对数字滤波器性能指标的影响分析193.1 IIR系统的基本网络结构193.2 有限字长运算在网络结构中对数字滤波器的影响253.2.1 运算量化效应对数字滤波器的影响253.2.2 网络结构中对数字滤波器影响的实例计算分析274 参数的字长对数字滤波器性能指标的影响284.1 系数量化对数字滤波器的影响284.2 系数量化对IIR数字高通滤波器的影响实例分析30参考文献34心得体会35附 录35摘 要数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活以及实现模拟滤波器无法实现的特殊功能等优点。本设计介绍了IIR数字高通滤波器的设计思想与步骤，通过建立滤波器模型利用MATLAB软件进行仿真，在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构和参数的字长对其性能指标的影响。着重介绍巴特沃斯低通模拟滤波器、双线性变换法设计思想及IIR数字高通滤波器网络结构和有效字长对滤波器性能指标的影响，并通过仿真结果对其进行分析。以及简单介绍MATLAB软件在设计分析数字高通滤波器使用方法和使用环境，及其特点。关键字词：IIR滤波器数字高通滤波器网络结构 有效字长MATLABAbstract Digital filter with high precision than analog filters, stability, small size, light weight, flexible and analog filters can not achieve the advantages of the special features. This design introduces the IIR digital high-pass filter design ideas and steps, through the establishment of filter model is simulated using MATLAB software, the computer-aided calculation based on the analysis of filter structure and parameters of word size on the performance indicators. Highlights Butterworth low-pass analog filter, Bilinear Transformation Method design and IIR digital high pass filter network structure and effective word-length performance of the filter, and analyze the simulation results. And a brief analysis of MATLAB software in the design of digital high-pass filter using the method and the use of the environment, and its characteristics. Keywords: IIR filters digital high pass filter network structure and effective word length MATLABIIR数字高通滤波器的设计1 IIR数字高通滤波器的设计1.1 数字滤波器的概述所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。下图给出了一个具有模拟输入信号和输出信号的实时数字滤波器的简化方框图。这个带限模拟信号被周期地抽样，且转化成一系列数字X（n）（n=0,1,）。数字处理器依据滤波器的计算算法，执行滤波运算，把输入系列X（n）映射到输出系列Y（n）。DAC把数字滤波后的输出转化成模拟值，这些模拟值接着被模拟滤波器平滑，并且消去不想要的高频分量。一个具有模拟输入和输出信号的实时数字滤波器的简化方框图数字滤波器在数字信号处理中具有非常重要的地位。在许多应用中（例如数据压缩，生物医学信号处理、语音处理、图象处理、数据传输、数字音频、电话回声对消，等等），数字滤波器和模拟滤波器比数字滤波器的有优势更加明显。1.2 数字滤波器的设计步骤设计一个IIR数字滤波器主要包括下面5个步骤：（1） 确定滤波器要求的规范指标。（2） 选择合适的滤波器系数的计算（如图一流程图所示）。（3） 用一个适当的结构来表示滤波器（实现结构）。（4） 有限字长效应对滤波器性能的影响分析。（5） 用软件或硬件来实现滤波器。这五个步骤不是必须相互对立的，它们也不是总要按照上面给出的顺序执行。为了获得一个有效的滤波器，在这些步骤间重复几遍可能是必需的，特别是如果问题的规范本身就有漏洞（这是很常见的情况）。确定数字巴特沃斯高通滤波器指标推导出归一化模拟巴特沃斯低通滤波器指标计算出归一化模拟巴特沃斯低通滤波器去归一化推导出模拟巴特沃斯高通滤波器双线性变换推导出数字巴特沃斯高通滤波器图一 流程图数字滤波器的相位响应并不像它的幅度响应那样精确。在许多情况下，指出需要考虑的相位失真或者需要得到的线性相位响应就够了。然而，在一些滤波器被用来均衡或者补偿一个系统响应的应用中，例如作为移相器，那么期望得到的相位响应将需要指定。本次设计的IIR数字滤波器系数的计算是根据已知的模拟滤波器的特性转换到等价的数字滤波器。两个常用的基本方法是冲激不变法和双线性变换法。在对模拟滤波器数字化以后，利用冲激不变响应法，原始的模拟滤波器的冲激响应应得到保留，但不保留它的幅度频率响应。因为固有的混叠，这个方法对高通或者阻带滤波器是不合适的。另一方面，双线性方法生成的滤波器是非常有效，而且非常适合于频率选择型的滤波器系数的计算。它允许利用已知的典型特性例如巴特沃斯来设计数字滤波器。从双线性变换法得到的数字滤波器，一般来说保留了模拟滤波器的幅度响应特性，但时域性没有保留。因此本次设计使用对IIR滤波器是最好的双线性法。1.3 数字滤波器的技术指标 常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应函数用下式表示： 式中，称为幅频特性函数;称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。下图表示低通滤波器的幅频特性， 和分别称为通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0|p，在通带中要求，阻带频率范围为s|，在阻带中要求。 从到称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。低通滤波器的幅频特性通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝表示，通带内允许的最大衰减用表示，阻带内允许的衰减用表示。对低通滤波器，和分别定义为 所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率、通带最大衰减 阻带边界频率和阻带最小衰减as确定。片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度”和“阻带波纹幅度”，而通带最大衰减和阻带最小衰减是与和完全等价的两个常数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想。上图所示的单调下降幅频特性，和别可以表示为:如果将归一化为1则表示为： 当幅度下降到时，标记，此时，称为3 dB通带截止频率。、和统称为边界频率，它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他类型的滤波器，上式中的应改成，为滤波器通带中心频率。1.4 模拟滤波器的设计1.4.1 模拟滤波器的介绍模拟滤波器的理论和设计方法已经发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选用，如巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器等，这些滤波器都有严格的设计方式，现成的曲线和图表供设计人员使用。这些典型滤波器都有特点，可以根据具体要求选择不同类型的滤波器。模拟滤波器按幅度特性可以分为低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。但我们设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面先介绍巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的技术指标，然后介绍频带的转换。1.4.2 巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计 巴特沃斯滤波器，又被称为“最平”的幅频响应滤波器。这是因为，该滤波器在通带内具有最大平坦的幅度特性，而且随着频率升高呈现出单调减小的特点。N阶低通巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为： 巴特沃斯幅度特性和N的关系其中，为通带宽度，即截止频率。当阶次N增大时，滤波器的特性曲线变得更加陡峭如上图，其特性就越接近于理想的矩形幅频特性。巴特沃斯滤波器属于全极点设计，它的极点由下式决定： 式中，。所以，在s平面上有2N个极点等间隔地分布在半径为的圆周上，并且极点都是成复共轭对出现，极点位置与虚轴对称，但不在虚轴上。1.5 数字滤波器的设计1.5.1 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器双线性变换法的思想是：将模拟滤波器的传递函数形式化为完全以积分器（1/s）构成的网络函数形式。然后由数字网络来代替模拟积分器，从而整个滤波器网络都转化成了数字的。这种映射是最好的变换方法，它涉及一个众所周知的函数给出为 这里T是一个参数。这个变换的另一个名字是线性函数变换，因为当离开之后得到这在每个变量上都是线性的，如果另一个固定的话；或者说在s和z上是双线性的。在上式制约下的复平面映射如下图所示。从该图的观察可得出现下面几点： 双线性变换中的复平面映射讨论s平面的虚轴与z平面的单位圆之间的映射关系，令=0可得到双线性变换法下模拟滤波器的角频率与数字滤波器的角频率之间的关系： 或 由关系式可知与之间的非线性关系如图：与之间的非线性关系从而使所设计的数字滤波器的截止频率发生变化。设计当中应式子： 把已经得到的数字滤波器截止频率预先变换为。 这表明是与非线性关联的（或畸变），但是不存在混叠。因此，在上式中我们说是被预先畸变到的。已知数字滤波器的设计要求，Rp和As，要求确定。在这个过程中的设计步骤如下：（1） 选取某一T。这是任意的，可以选T1。（2） 将截止频率和预失真；计算 （3） 设计一个模拟滤波器Ha(s)满足设计参数，Rp和As。前面已经讨论过来如何完成这一步。（4） 最后，令 并作化简得出作为有理函数的H(z)。1.5.2 频带变换设计IIR数字高通滤波器在前面我们从它们对应的模拟滤波器设计了数字低通滤波器，但我们的设计目标数数字高通滤波器可以这样来完成：将一个低通滤波器的频率轴（或频带）进行变换，以使得它的特性行为表现成另外的频率选择性滤波器。这些在复变量z上的变换是非常类似于双线性变换的，并且设计方程都是代数方程，这里要给出隐藏在这后面的基本思想。令是已知的原型低通数字滤波器和H（z）是期望的频率选择性数字滤波器。应该注意，我们在和H上正在分别使用两个不同的频率变量Z和z。定义一种映射关系 以使得有为此，只要在中处用函数替换即可。已知是一个稳定和因果的滤波器，也要求H（z）是稳定和因果的。这就要求强加下列条件：（1） G（）必须是的有理函数，以使得H（z）是可以实现的。（2） Z平面的单位圆必须要映射到z平面的单位圆。（3） 对于稳定的滤波器，z平面的单位圆内必须映射到z平面的单位圆内。 令和分别是Z和z的频率变量；也就是说，和均在它们各自的单位圆上。那么上面条件（2）就意味着 和或者 满足上面条件的G（）函数的一般形式是一个全通型的有理函数给出为其中为确保稳定性|1并满足条件（3）。现在通过选取合适的阶次n和系数，就能得到各种映射关系，其中最广泛应用的变换在下表中给出。数字滤波器频率变换（原型低通滤波器有截止频率）变换类型变换参数低通新滤波器的截止频率高通新滤波器的截止频率带通下截止频率上截止频率2k/(k+1)=(k-1)/(k+1)K=带阻下截止频率上截止频率2k/(k+1)=(k-1)/(k+1)K=1.6 IIR巴特沃斯数字高通滤波器的实例计算（1）设计要求设计一个巴特沃斯数字高通滤波器,要求通带截止频率 rad ,通带衰减不大于1dB,阻带截止频率rad，阻带衰减不小于15dB。（2）确定数字高通的技术指标：通带截止频率 rad， 通带最小衰减 dB阻带截止频率 rad， 阻带最大衰减 dB（3）将巴特沃斯高通数字滤波器的技术指标转换成巴特沃斯高通模拟滤波器的设计指标：令T=2s，预畸变校正得到的模拟边界频率：；。（4）模拟低通滤波器的技术指标计算如下：对通带边界频率归一化，由于本设计的为1dB截止频率，所以把和-带入求得归一化巴特沃斯低通滤波器的阻带截止频率为： ， dB（5）设计归一化巴特沃斯模拟滤波器G（p）。：所以取N=4，根据巴特沃斯归一化低通滤波器参数表(见附录)可得归一化模拟低通原型系统函数G(p)为： （6）利用频率变换公式将G(p)转换成模拟高通： 把代入此式可得： 用双线性变换法将模拟高通转换成数字高通：令 ,2 软件仿真工具及实现环境简介2.1 计算机辅助设计方法传统设计法思路清晰，步骤详尽，可参阅公式、手册循章而行。但由于计算烦琐，手工计算大多只能用来进行简单低阶选频滤波器（如LP，HP，BP及BS等）设计。集电路理论、网络、高级计算机语言等多交叉学科于一身的新领域，它把计算机的快速、高精度、大存储容量，严格的逻辑判断和优良的数据处理能力与人的思维创造能力充分的结合起来，极大的简化了数字滤波器的设计过程。在优秀科技应用软件MATLAB的信号处理工具箱中提供了一整套模拟，数字滤波器的设计命令和运算函数，方便准确，简单容行使得设计人员除了可按上述传统设计步骤快速的进行较复杂高阶选频滤波器的计算、分析外，还可通过原型变换直接进行各种典型数字滤波器设计，即应用MATLAB设计工具从模拟原型直接变换成满足原定频域指标要求有数字滤波器。此外，MATLAB软件还提供了强大的数字滤波器优化设计功能。即预先确定一种最佳设计准则，然后直接求得在该准则下滤波器系统的传递函数b,a。这种最优设计方法可方便地用于任意幅频特性要求的多带通复杂滤波器系统的设计。2.2 工作环境作简要的介绍在启动MATLAB后出现如下页图二的画面，包括“菜单项”、“工具栏”、“Command Window”窗口（也就是指令窗口）、“Workspace”窗口、“Current Directory”窗口待，还可以根据需要打开其它的窗口，其中“菜单项”和“工具栏”和其它软件无多大区别，“Command Window”窗口主要用于用户输入相关的指令，“Workspace”窗口列出各程序计算过程中产生的变量及其对应的数值的尺寸、字节和类型，“Current Directory”窗口是列出当前文件的路径及其相关的一些属性。MATLAB有两种常用的工作方式:一种是直接交互的命令行操作方式；另一种是文件的编辑工作方式。在前一种工作方式下，MATLAB被当作一种高级“数字演算和图示器”来使用，MATLAB程序是一个ASC码文件(标准的文本文件) 扩展名为“.m” ，即M文件。从功能上来讲，M文件大大扩展了MATLAB的能力。通过工具箱，MATLAB才能被应用到控制、信号处理、小波分析、系统辨识、图像处理等各个方面这些工具箱全部是由M文件构成的，本次设计就将应用其中的FDATOLL工作箱辅助函数用以滤波器的辅助设计和分析。图二 MATLAB主界面图2.3 MATLAB直接设计IIR巴特沃斯数字高通滤波器MATLAB编程如下：fs=5000;wp=800*2/fs;ws=400*2/fs;rp=1;rs=15;Nn=128;N,wn=buttord(wp,ws,rp,rs)b,a=butter(N,wn,high)freqz(b,a,Nn,fs)MATLAB运算结果如下：N = 4wn = 0.2388b = 0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647a = 1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字高通滤波器的幅频响应曲线基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字高通滤波器的损耗函数基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字高通滤波器的群延迟特性基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字高通滤波器的冲击响应特性基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字高通滤波器的阶跃响应特性基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字高通滤波器的零极点特性图3 滤波器结构对数字滤波器性能指标的影响分析3.1 IIR系统的基本网络结构 IIR系统的基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。直接型将N阶差分方程重写如下：对应的系统函数为设M=N=2，按照差分方程可以直接画出网络结构如下图（a）所示。图中第一部分系统函数用表示，第二部分用表示，那么，当然也可以写成,按照该式，相当于将下图(a)中两部分流图交换位置，如下图（b）所示。该图中节点变量w1=w2，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如下图 (c)所示的网络结构流图，我们将下图 (c)所示的这类流图称为IIR直接型网络结构。M=N=2时的系统函数为对照下图 (c)的各支路的增益系数与分母分子多项式的系数可见，可以直接按照画出直接型结构流图。 IIR网络直接型结构下面来讲述直接型的MATLAB的表示与实现：设计数字滤波器系统函数H（z）分子和分母多项式系数向量bz和az:fs=5000;wp=800*2/fs;ws=400*2/fs;rp=1;rs=15;Nn=128;N,wn=buttord(wp,ws,rp,rs)bz,az=butter(N,wn,high)MATLAB运算结果如下：N = 4wn = 0.2388bz= 0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647az= 1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331由bz和az写出数字滤波器系统函数：有H（z）写出差分方程如下：直接型网络结构如下图：x(n)y(n)0.36472.0578-1.85450.7895-0.1331-0.145872.18811.45870.3647直接型网络结构图在后面的分析中我们将发现，直接型系统对滤波器的性能控制作用不明显，极点对系数的变化不灵敏，易出现不稳定或较大误差，而且运算的累积误差较大。因此，在设计时一般不选用直接型。级联型级联型结构是将系统传递函数H(z)写成具有实系数的二阶节的乘积。将分子和分母多项式分解为各自的根，然后将一对复数共轭根（或者任意两个实数根）组合成二阶多项式。在直接型表示的系统函数H(z)中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：上式中, A是常数; Cr和dr分别表示H(z)的零点和极点。由于多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络。如下式：上式中表示一个一阶或二阶的数字网络的子系统函数，每个的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如下图所示，H(z)则由k个子系统级联构成。 一阶和二阶直接型网络结构下面来讲述级联型的MATLAB的表示与实现：将数字滤波器系统函数H（z）：用MATLAB转换成级联型的程序如下：bz=0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647;az=1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331;S,G=tf2sos(bz,az)freqz(bz,az)说明：S,G=tf2sos(bz,az):实现直接型到级联型的变换。B和A分别为直接型系统函数的分子和分母多项式系数向量。返回L级二阶级联型结构的系数矩阵S和增益常数G。MATLAB运算结果如下：S = 1.0000 -2.1807 1.1988 1.0000 -0.8976 0.2272 1.0000 -1.8190 0.8341 1.0000 -1.1602 0.5859G = 0.3647由S和G写出数字滤波器级联型系统函数：级联型网络结构如下图：-0.2961x(n)y(n)-0.8976-0.2272-2.18071.1988-1.0003-0.123780.06189级联型网络结构图在级联型结构中，每一级分子的系数确定一对零点，分母的系数确定一对极点，因为子网络的零极点也即整体网络的零极点，所以整个系统的零极点都可以准确的由每一级的系数来调整和控制，这样便于调整滤波器的频率响应性能，其灵敏度特性优于直接型和正准型结构。其次，级联结构具有最少的存储器。并联支路的极点也是整个网络的极点，而并联支路的零点却不是整个网络的零点，因此并联网络能独立的调整系统的极点位置，但不能控制零点。并联结构的灵敏度由于直接型和正准型，运算累积误差比级联型小。并联型如果将级联形式的H(z)展成部分分式形式，则得到：对应的网络结构为这k个子系统并联。上式中，Hi(z)通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为式中，、和i都是实数。如果=0，则构成一阶网络。由上式，其输出Y(z)表示为上式表明将x(n)送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出y(n)。 在并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。3.2 有限字长运算在网络结构中对数字滤波器的影响3.2.1 运算量化效应对数字滤波器的影响在实现数字滤波器时，将遇到相乘与求和运算。在定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入（或截留）处理，研究定点实现相乘运算的流图如下图所示。图（a）表示无限精度乘积y(n)；图（b）表示有限精度乘积,表示舍入运算。采用统计分析方法时，可以将舍入误差作为独立噪声e(n)叠加在信号上，如图(c)所示。a理想相乘 b实际相乘的非线性流图 c统计模型的线性流图定点相乘运算的流图表示显然，采用统计分析方法后，实际的输出可以表示为：对于舍入处理，e(n)的均值为零，方差为：现在以一个一阶IIR巴特沃斯数字高通滤波器为例来讨论分析方法。表示其输入与输出关系的差分方程为 ， n0式中|a|1。它含有乘积项，这将引入一个舍入噪声，其统计分析流图示于下图。一阶IIR滤波器的幅频特性整个系统可以当作线性系统来处理。输出噪声是由噪声源e(n)造成的输出误差，可由量化误差通过线性系统的方法求得输出噪声。由于e(n)叠加在输入端，因此式中h(n)=anu(n)是一阶系统的单位脉冲响应,由式 （为输出噪声方差）和可求得输出噪声的方差式中H(z)为一阶IIR系统的传递函数，即有此可以求得 ，（,）由此可见，字长b越大，数字滤波器输出端的噪声越小。3.2.2 网络结构中对数字滤波器影响的实例计算分析已知H（z）的系统函数为直接型：（，分别是系数0.3647，0.3647相乘后的舍入噪声） 级联型：同理并联型可求得：在以上式中 根据上面的计算结果，比较这三种结构的误差大小，可以看到直接型结构的输出误差最大，级联型次之，并联型结构的误差最小。这是因为直接型结构中所有舍入误差都要经过全部网络额反馈环节，因此，使这些误差在反馈过程中积累起来，致使误差很大。在级联型结构中，每个舍入误差只通过其后面的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，因而误差要比直接型小。在并联型结构中，每个并联网络的舍入误差仅仅通过本通路的反馈环节，与其他并联网络无关，因此积累作用最小，误差最小。这个结论对IIR滤波器具有普遍意义，所以从有限字长效应看来，不论是哪一种型式的直接型结构都是最差的，运算误差最大，特别在高阶时应避免采用。级联型结构较好，而并联型结构具有最小的运算误差。4 参数的字长对数字滤波器性能指标的影响4.1 系数量化对数字滤波器的影响 系统对输入信号进行处理时需要若干参数或者称为系数，这些系数都要存储在有限位数的寄存器中，因此存在系数的量化效应。系数的量化效应误差直接影响系统函数的零、极点位置，如果发生了偏移，会使系统的频率响应偏移理论设计的频率响应，不满足实际需要。 下面分析系数量化误差对极零点位置的影响。如果极零点位置改变了，严重时不仅IIR系统的频率响应会发生变化，还会影响系统的稳定性。因此研究极点位置的改变更加重要。为了表示系数量化对极点位置的影响，引入极点位置灵敏度的概念，所谓极点灵敏度, 是指每个极点对系数偏差的敏感程度。相应的还有零点位置灵敏度，分析方法相同。下面讨论系数量化对极点位置的影响。现分析一个N阶直接型结构的IIR滤波器的传递函数上式表示了一个N阶直接型结构的IIR数字滤波器的系统函数，该滤波器的极点都在单位圆内聚集在z=1附近。系数ak和bk必须用有限位二进制数进行量化，存储在有限长的寄存器中，经过量化后的系数误差为ar和br，量化后的系数用和，即则实际的系统函数可表示为:显然，系数量化后的频率响应已不同于原来设计的频率响应。用直接型结构来实现该滤波器时，系数ak和bk都将直接出现在信号流程图中，其中ak影响着极点的位置。当由于系数量化误差使一个极点从单位圆内移动到单位圆上或单位圆外时，滤波器的稳定性即受到破坏。所以，只要有一个系数由于量化产生很微小的误差，就有可能使系统失去稳定。反馈支路的阶次N越高，使滤波器失去稳定的系数量化误差的绝对值就越小，则越容易使滤波器变得不稳定。 设滤波器的传输函数，系数ak 和bk经舍入量化后为和，这里ar和br是量化误差。 分母多项式有N个极点，用（i=1,2, N）表示。这样，实际的滤波器的传输函数为:上式中，是第i个极点的偏差，称为极点误差，它应该和各个系数偏差都有关，它和各系数偏差的关系用下式表示:上式中，的大小决定着系数的偏差对极点偏差的影响程度。越大，对影响也越大。称为极点对系数变化的灵敏度。下面推导该灵敏度和极点的关系：从上式中看，分母多项式中，()是极点指向当前极点的矢量，而整个分母正是所有极点（不包括极点）指向当前极点的矢量之积。如果极点密集在一起，极点间距短，那分母多项式的值就很小，那么极点对系数量化误差的敏感度高，相应的极点偏移就大。 考虑以上因素，系统的结构最好不用高阶的直接型结构，而将其分解成一阶或者二阶系统，再将它们进行串联或并联，以便减小极点偏移量。4.2 系数量化对IIR数字高通滤波器的影响实例分析IIR滤波器存在着递归计算的问题，它的系数误差可能在循环计算中不断扩散，因此，一般地说，对系数误差的敏感程度比FIR滤波器严重。特别是当IIR滤波器的几点靠近Z平面上单位圆时，幅频特性通常要出现很大的峰值。下面通过实例来计算和观察。数字巴特沃斯高通滤波器的系统函数如下式：用MATLAB将系数经过1和4位二进制舍入量化，分析变化编程如下：B=0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647;A=1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331; %量化前系统函数系数向量b=1; %量化2进制位数Aq=quant(A,b); %对系统函数分母系数向量A进行b位量化p=roots(A) %计算量化前的极点pq=roots(Aq) %计算量化后的极点ap=abs(p) %计算量化前极点的模apq=abs(pq) %计算量化后极点的模freqz(B,A)运算结果如下：p = 0.5801 + 0.4994i 0.5801 - 0.4994i 0.4488 + 0.1604i 0.4488 - 0.1604ipq = 0 1.0000 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660iap = 0.7655 0.7655 0.4766 0.4766apq = 0 1.0000 1.0000 1.0000将b=4带入，运算结果如下：p = 0.5801 + 0.4994i 0.5801 - 0.4994i 0.4488 + 0.1604i 0.4488 - 0.1604ipq = 0 0 0ap = 0.7655 0.7655 0.4766 0.4766apq = 0 0 0运用MATLAB的辅助工具FDATOOL画出系统函数图像如下：系统函数系数向量经过1位二进制舍入量化前后幅频特性和相位响应（a）系统函数系数向量经过4位二进制舍入量化前后幅频特性和相位响应（b）系统函数系数向量经过1位二进制舍入量化前后零极点特性图（c）系统函数系数向量经过4位二进制舍入量化前后零极点特性图（d）由MATLAB运算1位和4位二进制舍入量化后结果可以看出，因为系数的量化，使极点位置发生变化，系数量化的相对误差（p-pq）不到10%，极点位置的相对误差ap达到了70%。问题不但是数量的变化，算一下极点的模，可以发现所有根的模都变大了，说明量化后的极点离单位圆稍远一些，如系统函数系数向量经过1和4位二进制舍入量化前后的零极点特性图如图（c）、（d）所示。这致使数字高通滤波器的幅频特性降低，运用MATLAB的辅助工具FDATOOL画出1位和4位量化墙后的幅频特性曲线分别如图（a）、（b）中的实线和虚线所示，这说明由于系数量化效应，使极点位置发生了变化，从而改变了原来设计的频率响应特性。另外，我们还注意到4位二进制舍入量化后极点都在单位圆内部，但在系统函数系数向量经过1位二进制舍入量化后，原来较小的系数相对误差变化较大，使滤波器性能偏离原设计指标要求，使本来稳定的系统变成了不稳定滤波器。从以上分析可以看出，系数的量化效应误差直接影响系统函数的零、极点位置，如果发生了偏移，会使系统的频率响应偏移理论设计的频率响应，不满足实际需要。因此，在设计滤波器的时候应尽量选择合理的系数量化，以减小量化误差，以便设计出较为理想的实用滤波器。参考文献1 李勇，徐霞.MATLAB辅助现在工程数字信号处理.西安：西安电子科技大学出版社.20022 高西全，丁玉美.数字信号处理(第三版).西安：西安电子科技大学出版社.20083 吴湘淇.信号、系统与信号处理（上、下）.北京：电子