gs1.3.2无穷小,连续,项级.ppt

一般, 无穷小量的商有下列几种情形. 第六节 无穷小量的比较 则称(x)和(x)是同阶无穷小量, 记作, (x)= O(x) 则称 (x)是(x)的k阶无穷小量. 则称(x)和(x)是等价无穷小量, 记作, (x) (x) 显然, 若(x) (x), 则 (x)和(x)是同阶 无穷小量, 但反之不对. 比如, (i) (ii) (iii) n 10 0.1 0.01 0.2 0.105 100 0.01 0.0001 0.02 0.01005 1000 0.001 0.000001 0.002 0.0010005 定理1. 设(x), (x), (x), (x)是某极限过程中的 无穷小量. f (x)是另一变量, 且, (x) (x), (x) (x), 则 只须右端极限存在或为无穷大. 证: (1) 因为(x) (x), (x) (x), 所以 类似可证(2), (3). 例1. 解:由于当x0, tgx x, 从而tg2x 2x. 当x0, sinx x, 从而sin5x 5x. 故, 例2. 解: = 1 例3. 解:= 0 或, = 0 1= 0 例4. 解:= 1 事实上, 若作代换, 有 显然, 这个结果是错误的. 例5. 当x0时, tgx sinx是x的几阶无穷小量? 解: 首先注意结论: 若当x0时, f (x) = O(x), g(x) = O(x), 则 f (x) g(x) = O(x+), 其中, , 均大于0. 由于 tgx sinx = tgx(1 cosx) 因 tgx x , 而 1 cosx = O(x2). 故 tgx sinx = tgx(1 cosx ) = O(x3). 当x0时, sinx x, tgx x, arctgx x, arcsinx x, ex1 x, ln(1+x) x, 常用的等价无穷小. 事实上, 当 y 0时, y = elny. 从而, = 1 注1.用符号“ ”表示无穷小量比无穷小量的极限问题. 用符号“ ”表示无穷大量比无穷大量的极限问题. 用符号“0 ”表示无穷小量乘以无穷大量的极限 问题. 三种类型可以互化. 比如, 注2. 若当x0时, f (x) = O(x ), g(x) = O(x ), 0. 则 f (x) g(x) = O(x), 例. 火箭升空时, 质量变化情形如图. t m o m0 t0 一般, 当 f (x)连续 变化时, 其图形是一条 连续曲线. 反之, 若 f (x)图形 是一条连续曲线, f (x) 则是连续变化的. 第七节 函数的连续性 一、函数的连续性 x y ox y oxx y y x y x y x0 f (x0) A B x x0x x0 从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续. (x)在x0的极限不存在, 而 y y x0 y = (x) y = f (x) 定义1. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.且 则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点. 否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点. 由于当f (x)为多项式时, 有 所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续. 连续定义也可用 语言给出。 若对 0, 0,使得当|xx0|0 y=CD的长 y=(x) x y o f (x0) x0+x x0+xx0 x0 y M N y=CD的长 y= (MN的长) C D y=f (x) 定理2. 若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则 (1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数. (2) f (x) g(x)在x0连续. (3) 当 g(x0)0时, 二、连续函数的基本性质 定理3. 设若y=f (x)由 y=f (u), u=(x)复合而成. 若u=(x)在x0连续, u0=(x0),而y=f (u)在u0 则复合函数y=f (x)在x0连续.连续, 证:要证y=f (x)在x0连续, 只须证0, 0, 当|xx0|0, 因y=f (u)在u0连续, 故 0, 当|uu0| 0, 0, 当|xx0|0 (0 (0. 根据对数恒等式 y=elny, y0, 有f (x)gx = eg(x) lnf (x), 即, 因此, 当f (x), g(x)均连续时, f (x)g (x)也连续. 则 例6. 例7. 若 limf (x) = A 0. limg(x) = B, 存在. 例8.= 21 = 2 例9. y x0 1 例10. y 01x 1 若limf (x)=1, limg(x)= , 称limf (x)g(x) 为“ 1 ”型极限问题. 若limf (x)=0, limg(x)= 0, 称limf (x)g(x) 为 “ 00 ”型极限问题. “ 1 ”, “00 ”和“0 ”型都不一定是无穷小 量, 也不一定是无穷大量, 更不一定是1. 若limf (x)= , limg(x)= 0, 称limf (x)g(x) 为“0 ”型极限问题. 例11. 解: “1 ”型, 原式 = 函数 f (x)在 x0连续可简单地表示为: 要使它成立, 必须 (1) f (x)在 x0有定义; (2) f (x)在 x0的极限存在; (3) 两者相等. 这三条有一条不成立, 则 f (x)在 x0不连续(间断). 四、函数的间断点 设 f (x)在 (x0)内有定义,若f (x)是下列情况之一, (1) f (x)在 x0无定义; (2) f (x)在 x0的极限不存在; (3) 则称 f (x)在 x0处间断, x0称为f (x)的一个间断点. 例1. 解: 在其定义域内都连续. 故其间断点必是使函数无定义的点. 因 f (x)只在 x=0处无定义, 故x=0为f (x)的唯一间断点. 而 f (x)在 x=0无定义, 此时, 补充定义: 则 例2. 解: 这是一个由初等函数组成的分段函数. 这种函数的间断点若存在,通常在分段点x=0处. 事实上, 在(, 0)内, f (x) = 2x, 连续, 在(0, +)内, f (x) = sinx, 连续. 只须考虑在 x = 0是否连续即可. 而 f (0) = 1. 则 如图 xo y 2 1 y=sinx y=2x 1 一般, 若x0是 f (x)的间断点, 则称 x0为 f (x)的一个可去间断点. 例3. 解: 类似例2. 只讨论分段点 x = 0 处情况. 由于 x y 0 y=arctanx x = 0为 f (x)的间断点. 看图 一般, 若f (x)在 x0处的左, 右极限都存 在, 但不相等,则间断点 x0称为 f (x)的跳跃 间断点. 如图 xo y 2 1 y=x2 y=2+(x1)2 1 2 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间 断点. 或者说, 左, 右极限都存在的间断点称为 第一类间断点. 不是第一类的间断点称为第二类间断点, 或者说, 左, 右极限中至少有一个不存在的间断 点称为第二类间断点. 例4. 解: 间断点 x = 0. 故 x = 0 为第二类间断点. 一般, 若 中至少有 一个为无穷大, 则称x0称为 f (x)的无穷型间断点. 例5. 解: 间断点 x = 0. 看图 故 x = 0 为第二类间断点. 0 1 1 y x 定理1. (根的存在定理), 若f (x)Ca, b, 即f (x)在 a, b上连续. 且 f (a) f (b)0, f (1) = ln(1+e)2 =ln(1+e) lne2 0, N 0, 当n N时, 有|Sn(x0) S(x0)| 0, 存在与 x 无关的正整数 N = N(), 使得当 n N 时, 对一切 xD 都有 则称 在D上一致收敛于 S(x). 定理1.(柯西原理) 的充要条件是: 0, N = N() 0, 当n, m N时, 有 | Sn(x) Sm(x) | m , 则上式为 定理2.(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法) (1) N 0, n N时, | un(x) | an , x D . 其中 an 为常数; (2) 例2. 解 : x R . 故此两级数一致收敛. 1.幂级数的概念 定义2. 具有下列形式的函数项级数. 称为 x x0 的幂级数(或在 x = x0 的处的幂级数). 其中x0为常数, an称为幂级数的系数, n=0, 1, 2, . 特别, 若 x0 = 0, 则称 为 x 的幂级数(或在x = 0处的幂级数). 二、幂级数 令 x x0 = t , 得 显然, 幂级数 在 x = 0 处收敛于a0 . 即 的收敛域非空. 此两形式可通过变量代换互化. 定理3.(阿贝尔(Abel)定理),设幂级数 (1) 若 在 x = x0 ( x0 0)处收敛, 则它在满足 | x | | x0 | 的一切点 x 处发散, 即, 它在区间 ( | x0 | , | x0 | )外的一切点 x 处发散. 看图. 若 在x = x0 处收敛, 则它在 (|x0| , |x0| ) 内绝对收敛. x x0x0 0 若 在 x = x0 处发散, 则它在 (, |x0|) 和 ( | x0 |, +) 内都发散. x x0x0 0 证: (1) 设 在 x = x0 ( x0 0) 处收敛, 即 收敛. 由数列收敛, 则该数列 必有界(即有界性定理)知, M 0, 使得 对满足| x | | x0 | 的一切 x , 反设存在某个 x1 , 满足| x1 | | x0 | , 但 此与条件矛盾. ( | x | 1, 级数发散. 故 r = 0. 注1. 对(xx0)的幂函数仍可用定理4的 结论求收敛半径 r. 当r = 0时, 级数只在x = x0收敛; 当r 0时, 级数在满足|xx0|r的点x上收敛, 即在 (x0 r, x0 + r)内收敛. 区间端点x0 r 处级数敛散 性另行判断; 当 r = +时, 级数在(, +)收敛. 注2. 对缺无穷多项的幂级数，如 、 、 不能直接用定理4求收敛半径, 而要象定理4的证明一样，用达朗贝尔判别 法求收敛半径。 例3. 求 解：因为 故收敛半径 即级数在(-3, 3)内收敛. 考虑, 当 x = 3时, 级数 由于发散. 收敛. 所以, 级数的收敛区间为(3, 3. 例4. 解：这是一个(x1)的幂级数, 可用定理4求收敛半径. 故 r = 1. 当| x 1 | 1 即 0 x 2时, 级数收敛. 当 x = 0 时, 故收敛区间为0, 2). 例5. 求 解：这是缺无穷多项的, (x2)的幂级数, 不能直接 用定理4求收敛半径.由达朗贝尔判别法. 故收敛半径 r = 2, 级数在(0, 4)内收敛. 当 x = 0 时, 收敛. 当 x = 4时, 级数 收敛. 收敛区间为0, 4. 定理5. 设 则 (1) 当0 +时, (2) 当 = 0 时, r = + ; (3) 当 =