金融数学债券定价理论研究论文.doc

学科前沿讲座期末论文-金融数学债券定价理论研究 金融数学债券定价理论研究摘要：在金融数学里影响债券价格的因素很多，如市场利率、发行人的信誉、债券的特定条款、税收待遇等。本文将忽略其他影响因素，直接分析债券的理论价格与市场利率的关系。此外，本文将仅仅讨论债券在发行之日的价格，以及债券发行以后经过整数个息票支付日期的价格。 债券的价格可以有不同的计算方法，最常见的主要有下述几种。首先从基本原理出发给出债券定价的基本公式，其他定价公式都可以从基本公式出发导出，因此可以认为是基本公式的变形。关键词：金融数学 债券价格 市场利率 到期日1. 引言在金融市场上，通过金融工具，资本得以融资，金融交易得以进行。随着金融市场的不断完善，出现了种类繁多的各式金融工具，如债券，股票和各种衍生品等。债券是投资者向政府、公司或金融机关提供资金的债权债务合同，该合同载明了发行者在指定日期支付利息并在到期日偿还本金的承诺。按照利息的支付方式不同，债券可以分零息债券和附息债券两种。零息债券是一种以低于面值的贴现方式发行，到期按债券面值偿还的债券。债券发行价格与面值的差额就是投资者的利息收入。附息债券是指事先确定息票率，每半年或一年按面值和息票率计算并支付一次利息的债券。投资者不仅可以在债券期满时收回本金（面值），而且可定期获得固定的息票收入。息票收入是债券面值与息票率的乘积。2. 债券基本公式a) P 债券的价格b) i 债券的到期收益率c) F 债券的面值 d) r 债券的息票率e) rF 息票收入 f) C 债券的偿还值，通常等于债券的面值，即C = F。例外：提前偿还时，偿还值不等于债券的面值。g) g 修正息票率是息票收入与偿还值C的比率，即g = rF/C。因此，gC = rF。 h) n 息票的支付次数。i) 偿还值按收益率i计算的现值，即.j) G 基价。把基价按利率 i投资，每期产生的利息收入将等于息票收入，即iG = rF。 息票收入等式：rF = gC = iG。 从理论上讲，债券的价格应该等于债券未来收益的现值。而债券的未来收益包括两部分，即周期性支付的息票和到期的偿还值得现值之和，即P=t=1nrF1+it+C(1+i)n （1） =t=1nrFvn+Cvn （2） （3） 从（1）式中容易看出，债券的价格与市场利率成反比关系，也就是说，对于一种给定的债券，市场利率越高，投资者所要求的收益率就越高，债券的价格将越低。事实上，对（2）式求关于i的一阶和二阶导数，可得 一阶倒数小于零，说明债券的价格P是市场利率i的减函数，因此，市场利率越高，债券的价格越低。二阶导数又大于零，说明债券价格p是市场利率i的凸函数。因此，当市场利率下降时，债券价格将以加速度上升，而当市场利率上升时，债券价格将以减速度下降。3.溢价公式 将(3)式变形即得下述溢价公式： （4） （5）在上式中，当债券的价格P超过其偿还值C时，就称债券按溢价出售，溢价为式（4）或（5）中的后一项，即溢价 （6）从上式可以看出，当溢价为零时，修正息票率g将等于收益率i。当债券的价格P小于其偿还值C,债券就按折价出售。折价事实上就是负的溢价。债券的价格P是投资者在期初的实际投资金额。如果将账面值定义为债券持有人在该债券上的投资余额，那么债券在购买日的账面值就是债券的价格。假设期初的账面值为：经过一个时期，若按购买债券时的收益率i计算，它将积累到（1+i）P，而同时，投资者可以获得gC的息票收入，所以经过一个时期以后，投资者的实际投资余额（即账面值）应为：将式（5）的溢价公式代入此式，即得第一期末的账面值为： （7）以此类推，各期的账面值（用表示）分别如下 第一期初：第一期末：第k期末: 第n期末：由此可见，账面值不同于债券的市场价值，它不随市场利率的变化而变化。当债券按溢价发行时，投资者的账面值（实际投资余额）是逐期调整的，从期初的购买价P一直调整到偿还值C。显然，当债券的溢价为零时，账面值将恒等于偿还值，即P=C，此时就没有必要逐期调整账面值了。如果用基本公式表示各年末的账面值，则第k年末的账面值为：上式事实就是未来息票收入和偿还值在第k年末的现值。可以证明，各期的账面值具有下述递推关系：账面值是债券持有人的实际投资余额，因此债券持有人的利息收入应该按照账面值与收益率的乘积计算。当债券的溢价为零时（即P=C），修正息票率g等于收益率i，债券的账面值恒等于C，所以每期的利息收入iC就等于息票收入gC，即iC=gC。当债券的溢价不为零时，投资者在每期的利息收入不等于息票收入。此时，投资者在每期获得的息票收入应该分解为两部分，一部分是利息收入，一部分是对其溢价购买债券的补偿或分摊，即溢价分摊。譬如，投资者在第一期末可以领取的息票收入为gC，而应的利息收入为期初的账面值与收益率i的乘积，所以第一期对溢价的分摊金额为：在第一期的息票收入中，已经对投资者所支付的溢价分摊了一部分，因此，在第一期末，应该从期初的投资余额中扣除这个金额，从而第一期末的账面值成为：上式与与（7）的计算结果完全一致。从第二期的息票收入中减去第二期的应得利息收入，可得第二期对溢价的分摊金额为：以此类推，第t期对溢价的分摊金额为：对于折价出售的债券，上述结论仍然成立，因为折价可以看做负的溢价，而溢价分摊就变成了折价累计。4.基价公式债券的基价是投资者为了获得与息票rF相等的周期性收益所必须的投资额。换言之，债券的基价G如果按收益率i投资，每期产生的利息将等于债券的息票，即iG=rF.根据这个关系式，基价公式也有式（3）的变形得到： 上式表明，如果投资者将基价G按收益率i投资，不仅可以获得与息票收入rF相等的周期性收益（即iG=rF），到期时还可以获得G元的偿还值（本金）。但是，如果投资者购买了债券，除了可以获得周期性的息票率收入rF，到期时还可以获得C元的偿还值。由此可见，投资者购买债券可以在到期时多获得（C-G）元的偿还值。这个偿还值的现值，所以，投资者购买债券应比基价多支付。当（C-G）0b ）券：对P求导得：对P求二次导数得：其中，表示原来的价格；表示下降后的价格；表示上升后的价格；表示原来的收益率；表示收益率升降幅度；表示债券年利息。7.债券理论对投资者的启示从上述对债券理论的讨论和分析中，可以得出了一个重要结论：在给定的利率变化条件下，为了评估债券价格变化，最重要的变量是债券的息票率和到期日。利率的下降会导致债券价格上升，大部分的变动发生在期限长的债券和息票率低的债券中。无论市场利率上升还是下降，在