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圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用 北京一零一中学数学组 何效员圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹讨论如下： 当时，点的轨迹方程为，直线去掉一点； 当时，点的轨迹方程为，两条直线去掉一点； 当时，点的轨迹不存在。 下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。例1 已知椭圆内一点，为右焦点，椭圆上有一点使的值最小，求点的坐标。分析：若按常规思路，设点，右焦点， 则， 求其最小值无疑是困难，观察，设点到右准线的距离，这样就转化为在椭圆上寻找一点到的距离与到直线 的距离和最小，当且仅当直线时，点在点和直线之间时取得，此时的坐标为.例2 已知椭圆方程为，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。 分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标，继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。设所求双曲线方程为，其中，设两曲线在第一象限内的交点，分别为椭圆，双曲线的上准线，过作于，于，解得 ，代入椭圆方程，得，利用双曲线与椭圆的对称性知，等号当且仅当时取得，故所求双曲线方程为，相应的四个顶点坐标为.例3 已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于两点，且（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率。分析：本题是2009年天津卷文科第22题的前两问，参考答案是用常规方法，即设直线 的方程与椭圆方程联立，利用为之中点求解，方法虽易理解，但计算繁杂，极易出错，而利用椭圆的第二定义，求解过程简洁，极富数学美感。为对比，先将两种解法列出。解法一 （1） 由，得，从而，整理得，故离心率.（2）解：由（1）知，所以椭圆的方程可以写为，设直线AB的方程为即，由已知设，则它们的坐标满足方程组，消去y整理，得依题意， ，而，由题设知，点B为线段AE的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得.解法二 （2） 设椭圆方程为 ，过作轴，知为椭圆的右准线，过 分别作于，于，知， ，即，在中，根据相似三角形对应线段成比例，则点A在短轴顶点，所以 直线的斜率为。 利用圆锥曲线的第二定义，我们在极坐标系中可以很方便地得到圆锥曲线的统一方程：，（其中为离心率，为焦准距）。利用这个方程，我们很容易得到下面这个结论： 过双曲线的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当弦与轴垂直时，取得最小长度. 以双曲线右焦点F为极点，对称轴为极轴，如图所示建立极坐标系，易知双曲线右支的方程为，设两点的坐标分别是，当且仅当时，等号成立.利用这个结论，我们可以很轻松地证明1997年全国高中数学联赛一试第8题。例4 证明：过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点