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64 64 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 梁的变形微小，梁的变形微小， 且梁在线弹性范围内工作时，且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载梁在几项荷载 （可以是集中力（可以是集中力, , 集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y y 轴方向轴方向 ), ), 其转角其转角 是在同一平面内是在同一平面内 ( ( 如均在如均在 xyxy 平面内平面内 ) ) 时时, ,则叠加就是代数和。则叠加就是代数和。 这就这就 是叠加原理。是叠加原理。 一、叠加原理一、叠加原理 ： 1、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。 2、结构形式叠加（逐段刚化法）： 1、 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。 解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 q q F F =+ A A A B B B C aa q q F F =+ A A A B B B C aa 叠加 例题例题1 1：一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁受荷载如的简支梁受荷载如 图图 所示。所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度试按叠加原理求梁跨中点的挠度 w w C C 和支座处横截面的和支座处横截面的 转角转角 A A , , B B 。 A B m C q 解：将梁上荷载分为两项简单解：将梁上荷载分为两项简单 的荷载，如图。的荷载，如图。b,cb,c 所示所示 (b) A B m C q B A C q BA m C (C) ( ) ( ) A B m C q A C q A m C B C q 2q A (2) (2) 求求 w w A A AB=a,BC=2a 2q A B 2qa 2qa A B C D q A B C D q 由于简支梁上由于简支梁上 B B 截面的转动，代动截面的转动，代动 AB AB 段一起作刚体运段一起作刚体运 动，使动，使 A A 端产生挠度端产生挠度 w w 1 1 悬臂梁悬臂梁 AB AB 本身的弯曲变形，使本身的弯曲变形，使 A A 端产生挠度端产生挠度 w w 2 2 2q A B 2qa 2qa A B C D q A B C D q 因此，因此，A A端的总挠度应为端的总挠度应为 查表得查表得 2q A B 2qa 2qa A B C D q A B C D q 二二 刚度条件刚度条件 1 1、数学表达式、数学表达式 ww、是构件的许可挠度和转角。是构件的许可挠度和转角。 2 2、 刚刚 度条件的应用度条件的应用 、校核刚度、校核刚度 、设计截面尺寸、设计截面尺寸 、求许可载荷、求许可载荷 F L=0.4m F2=2kN A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的 E=210GPa，工程规定C点的w/L=0.00001,B点的=0.001 弧度,试核此杆的刚度。 = + + = F1=1kN ABDC F2 B C D A F2=2kN B C D A F2 B C a F2 B C D A M F AB 一一. . 基本概念基本概念 超静定梁超静定梁 65 65 简单简单超静定梁超静定梁 单凭静力平衡方程不能求出全单凭静力平衡方程不能求出全 部支反力的梁部支反力的梁 , , 称为超静定梁称为超静定梁. . AB C F F AB “ “多余多余” ”约束约束 多于维持其静力平衡所必需多于维持其静力平衡所必需 的约束。的约束。 AB C F “ “多余多余” ”反力反力 “ “多余多余” ”与相应的支座反力与相应的支座反力 二二 ，求解超静定梁的步骤，求解超静定梁的步骤 1 1、 画静定基建立相当系统：画静定基建立相当系统： 将可动绞链支座作看多余将可动绞链支座作看多余 约束解除多余约束，代之以约束解除多余约束，代之以 约束反力约束反力 R RB B 。得到原超静定 。得到原超静定 梁的梁的 基本静定系基本静定系。 A B q q A B 2 2、列、列几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程 超静定梁在多余约束处的超静定梁在多余约束处的 约束条件，梁的约束条件，梁的 变形协调条件。变形协调条件。 根据变形协调条件得根据变形协调条件得 变形几何方程：变形几何方程： 变形变形调条调条方程为方程为 A B q q A B 补充方程补充方程 为为 由该式解得由该式解得 q A B q A B B A 5 5、求解其它问题（反力、应力、求解其它问题（反力、应力 、变形等）、变形等） 求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力 q A B 代以与其相应的多余反力偶代以与其相应的多余反力偶 mm A A 得基本静定系。得基本静定系。 变形相容条件为变形相容条件为 方法二 取支座取支座 A A 处阻止梁转动的约束处阻止梁转动的约束 为多余约束。为多余约束。 A B q A B q 例题例题 ：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。 已知已知 EI = 5 EI = 5 10 10 3 3 KN.mKN.m 3 3 。 4m3m2m A B D C 30KN 解：这是一次超静定解：这是一次超静定 问题问题 取支座取支座 B B 截面上的相对截面上的相对 转动约束为多余约束。转动约束为多余约束。 基本静定系为在基本静定系为在 B B 支座支座 截面上安置绞的静定梁，截面上安置绞的静定梁， 如图如图 所示。所示。 4m3m2m A B D C 30KN D C A B 30KN 多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于 简支梁简支梁AB AB 和和 BC BC 的的 B B端端 处的一对弯矩处的一对弯矩 MM B B 变形相容条件为，简支梁变形相容条件为，简支梁 ABAB的的 B B 截面转角和截面转角和 BCBC 梁梁 B B 截面的转角相等截面的转角相等。 4m3m2m A B D C 30KN D C A B 30KN 故由于 得 + - - 32.05 47.95 18.36 11.64 + - 25.68 31.80 23.28 1.603m 由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程 可求得其余反力可求得其余反力 绘出剪力图和弯矩图。绘出剪力图和弯矩图。 C A