世纪金榜理科数学(广东版)热点专题突破系列.ppt

热点专题突破系列(二) 三角函数与平面向量的综合应用 考 点考 情 分 析 三角函数的求 值值与平面向量 的综综合 以平面向量为载为载 体重点考查查三角函数的条件 求值值,即考查诱导查诱导 公式、同角三角函数关系 式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等 三角恒等变换变换 ,在知识识的交汇汇点处处命题题 三角函数的性 质质与平面向量 的综综合 以平面向量的坐标标运算、平面向量的数量积积 为为基础础,引入三角函数,通过过三角恒等变换变换 重 点考查查三角函数的周期性、单调单调 性、最值值及 取值值范围围等,在知识识的交汇汇点处处命题题 考 点考 情 分 析 平面向量在三 角形计计算中的 应应用 结结合平面向量的线线性运算、数量积积,在三角 形中重点考查查正、余弦定理的应应用及简单简单 的三角恒等变换变换 .题题型有求边边、求角、求三 角形的面积积等,在知识识的交汇汇点处处命题题 考点1 三角函数的求值与平面向量的综合 【典例1】(2014韶关模拟)已知向量a=(-cos x,sin x), b=(cos x, cos x),函数f(x)=ab,x0,. (1)求函数f(x)的最大值. (2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小. 【解题视点】(1)把f(x)化成y=Asin(x+)+k的形式，再求 最大值. (2)先求出a与b的坐标，再根据夹角公式求夹角. 【规范解答】(1)f(x)=ab=-cos2x+ = = 因为x0,所以当 时，f(x)max= (2)由(1)知 设向量a与b的夹角为,则cos = 所以 因此，向量a与b的夹角为 【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤 (1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦 给出，把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式. (2)利用三角恒等变换进行条件求值. 【变式训练】(2014揭阳模拟)已知向量a= b= 函数f(x)=ab(A0,xR),且f(2)=2. (1)求函数y=f(x)的表达式. (2)设 求cos(+)的值. 【解析】(1)依题意得f(x)= = 因为f(2)=2,所以 所以 解得A=4,所以f(x)= (2)由f(3+)= 得 即 所以 又因为 所以 由 得 即sin(+)= 所以sin = 又因为 所以 所以cos(+)=cos cos -sin sin = 【加固训练】设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin , 4cos ),c=(cos ,-4sin ). (1)若a与b-2c垂直，求tan(+)的值. (2)求|b+c|的最大值. (3)若tan tan =16,求证：ab. 【解析】(1)因为b-2c=(sin -2cos ,4cos +8sin ), a与b-2c垂直， 所以4cos (sin -2cos )+sin (4cos +8sin )=0, 即sin cos +cos sin =2(cos cos - sin sin ), 所以sin(+)=2cos(+),所以tan(+)=2. (2)因为b+c=(sin +cos ,4cos -4sin ), 所以|b+c|= = 所以当sin 2=-1时，|b+c|取最大值，且最大值为 (3)因为tan tan =16,所以 即sin sin =16cos cos , 所以(4cos )(4cos )=sin sin , 即a=(4cos ,sin )与b=(sin ,4cos )共线， 所以ab. 考点2 三角函数的性质与平面向量的综合 【典例2】(2014烟台模拟)已知平面向量a=(cos , sin ),b=(cos x,sin x),c=(sin ,-cos )，其中0 ,且函数f(x)=(ab)cos x+(bc)sin x的图象过点 (1)求的值及函数f(x)的单调增区间. (2)先将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位，然后将得到函 数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函 数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在 上的最大值和最小值. 【解题视点】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关 公式化简函数解析式，由函数f(x)的图象过定点确定的值， 并由此求函数f(x)的单调增区间. (2)先根据图象变换的法则确定函数g(x)的表达式，并由此根 据给定的范围求函数g(x)的最值. 【规范解答】(1)因为ab=cos cos x+sin sin x =cos(-x), bc=cos xsin -sin xcos =sin(-x). 所以f(x)=(ab)cos x+(bc)sin x =cos(-x)cos x+sin(-x)sin x=cos(-x-x) =cos(2x-),即f(x)=cos(2x-), 所以 而0, 所以 所以 由2k- 2k.得 即f(x)的单调增区间为 (2)由(1)得，f(x)= 平移后的函数为 于是g(x)= 当 时， 所以 即当 时，g(x)取得最小值 当 时，g(x)取得最大值1. 【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法 (1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题. (2)利用三角函数恒等变换公式(尤其是辅助角公式)化简函数 解析式. (3)根据化简后的函数解析式研究函数的性质. 【变式训练】已知向量a= b=(cos x, cos x)(0),若f(x)=ab,且f(x)的最小正周期为. (1)求的值. (2)试述由y=sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到f(x) 的图象. (3)求y=f(x)的值域. 【解析】(1)f(x)=ab =sin(-x)cos x+ =sin xcos x+cos2x= = 所以 即=1. (2)由(1)，得f(x)= 首先把y=sin x的图象向左平移 个单位，得 的图象；其次把 的图象纵坐标不变，横坐标变为 原来的 倍，得 的图象；然后把 的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得 的图象； 最后，把 的图象向上平移 个单位，得 的图象. (3)因为 所以f(x)的值域是 【加固训练】(2013成都模拟)已知O为坐标原点， (1)求y=f(x)的单调递增区间. (2)若f(x)的定义域为 值域为2,5，求m的值. 【解析】(1)f(x)= 由 得y=f(x)的单调递增区间为 (2)当 时， 所以 所以1+mf(x)4+m, 所以 考点3 平面向量在三角形计算中的应用 【典例3】(2014黄山模拟)已知ABC的面积是30，三内角 A，B，C所对边长分别为a,b,c, (1)求 (2)若c-b=1,求a的值. 【解题视点】(1)由cos A= 可求得sin A的值，根据ABC的 面积可求得bc的值，利用平面向量数量积公式求 的值. (2)由边的关系及余弦定理求a的值. 【规范解答】(1)由cos A= 得 (2)因为c-b=1,bc=156, 所以a2=b2+c2-2bccos A=(c-b)2+2bc- =1+ 156=25，即a=5. 【规律方法】平面向量与三角形计算综合问题的解法 (1)利用平面向量数量积的计算公式，把问题转化为三角形中 的计算问题，在三角形中，结合三角形内角和公式、正余弦定 理、三角形的面积公式进行相关计算. (2)先在三角形中利用相关公式进行计算，再按要求求向量的 数量积、夹角、模等. 提醒：解决三角形中向量夹角问题的思维误区是不注意向量的 方向，从而弄错向量的夹角. 【变式训练】(2014天津模拟)ABC的三个内角A，B，C所对 的边分别为a,b,c，向量m=(-1,1),n= 且mn. (1)求A的大小. (2)现给出下列四个条件：a=1;b=2sin B; B=45.试从中再选择两个条件以确定ABC，求出你所确定 的ABC的面积. 【解析】(1)因为mn, 所以-cos Bcos C+sin Bsin C- =0, 即cos Bcos C-sin Bsin C= cos(B+C)= 因为A+B+C=180，所以cos(B+C)=-cos A, 所以cos A= 又0A180,所以A=30. (2)方法一：选择可确定ABC. 因为A=30，a=1, 由余弦定理 整理得b2=2, 所以SABC= 方法二：选择可确定ABC. 因为A=30，a=1,B=45,所以C=105. 因为sin 105=sin(60+45) =sin 60cos 45+cos 60sin 45= 由正弦定理 得 所以 【加固训练】(2014济南模拟)在AB