lei1多元函数的基本概念.ppt

返回上页页下页页目录录 高等数学多媒体课件 华南农业大学理学院数学系 牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz） Date1 返回上页页下页页目录录 第七章 多元函数微分法及其应应用 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 Date2 返回上页页下页页目录录 主 要 内 容 第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的微分法 第五节 隐函数的微分法 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法 Date3 返回上页页下页页目录录 第一节 多元函数的基本概念 第七章 (Conception of functions of several variables) 四、多元函数的连续性 一、平面点集 n 维空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 五、小结与思考练习 Date4 返回上页页下页页目录录 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平 面点集，记作 E=(x , y)|(x , y)具有性质P. 例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有 点的集合是 一、平面点集 n 维空间 Date5 返回上页页下页页目录录 邻邻域 Date6 返回上页页下页页目录录 点集称为点 P0 的 邻 域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 Date7 返回上页页下页页目录录 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 . 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. Date8 返回上页页下页页目录录 (1) 内点、外点、边界点、聚点 设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含有 E的点也 含 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 .有不是E的点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 2. 区域 Date9 返回上页页下页页目录录 若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 内点一定是聚点；边边界点可能是聚点；说说明： 例 (0,0)既是边边界点也是聚点 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合 例如, 边边界上的点都是聚点也都属于集合 Date10 返回上页页下页页目录录 开集: 如果点集E的点都是内点，则称E为开集. 内点开集 闭集：如果点集E的余集 为开集，则称E为闭集. 开集 既非开集，也非闭集. (2)开集、闭集 Date11 返回上页页下页页目录录 连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连接起 来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集. 例如： 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为 闭区域. 区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域. 例如： （4）区域 Date12 返回上页页下页页目录录 开区域 闭区域 例如，在平面上 Date13 返回上页页下页页目录录 整个平 面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定 点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界区域 , 无界域 . 否则称为 有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得 ，其中O是坐标原点，则称E为有界集. 无界集：不是有界集的集合称为无界集. Date14 返回上页页下页页目录录 n 元有序数组的全体称为 n 维空间, n 维空间中的每一个元素称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 一个点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O . 3. n 维空间 Date15 返回上页页下页页目录录 设x=(x x 1 1,x ,x2 2 ,x x n n ) )，y y=(=(y y 1 1,y ,y2 2 ,y y n n ) )为为R R n n 中任意两个 元素 ，规定 这样定义了这样定义了线性运算的集合R n称为n维空间. Date16 返回上页页下页页目录录 的距离记作规定为 n维维空间间中邻邻域、内点、边边界点、区域、聚点等 概念也可定义义 特殊地当 时时，便为为数轴轴、平面 、空间间两点间间的距离 Date17 返回上页页下页页目录录 二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 Date18 返回上页页下页页目录录 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 定义1 设非空点集 Date19 返回上页页下页页目录录 例1. 求 的定义义域 解 所求定义义域为为 Date20 返回上页页下页页目录录 二元函数的几何意义： 设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的 某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间 可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；当点 P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间 作相应地变动，它的轨迹是一个曲面. Date21 返回上页页下页页目录录 定义域为圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 定义域为 图形为空间中的超曲面. 单位闭球 例如, 二元函数 Date22 返回上页页下页页目录录 三、多元函数的极限 定义2 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的聚 若存在常数 A ,对一 记作 都有 对任意正数 , 总存在正数 , 切 Date23 返回上页页下页页目录录 (1) 不研究P0(x0 ,y0)处的状态，仅研究点 的过程中，函数f(x,y)的变化趋 势.所以，函数z=f(x,y)在点P0(x0 ,y0)的极限与函数在 点P0(x0 ,y0)有无定义无关. (2)极限值A应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近 P0(x0,y0)的方式无关.也就是说：P(x,y)以任何方式 趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A. 注意： （3）若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 以不同方式趋于 不存在 . 函数 Date24 返回上页页下页页目录录 求证： 证: 故 总有 要证 （课本 例5） 例2 设 Date25 返回上页页下页页目录录 例3 考察函数 这也是一种特殊方式 (2)当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时, 解：(1)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时, 这是一种特殊的趋近方式 当 时 的极限. Date26 返回上页页下页页目录录 (3)当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时 Date27 返回上页页下页页目录录 例4 求: Date28 返回上页页下页页目录录 例5 求极限 解 其中 Date29 返回上页页下页页目录录 四、多元函数的连续性 定义3 设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为D， 为D的聚点，且 .如果 则称函数f(x,y)在点P0(x0 ,y0)处连续. 如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则 称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或者称f(x,y)是D上 的连续函数. 以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广 到n元函数f(P)上. Date30 返回上页页下页页目录录 二元函数在点P0(x0 ,y0)处的连续，要求有以下三 个条件成立，即： (1)函数z=f(x ,y)在点P0(x0 ,y0)有定义，且点P0(x0 ,y0) 是函数z=f(x ,y)定义域的聚点. (2)函数z=f(x,y)在点P0(x0 ,y0)有极限. (3)函数z=f(x ,y) 在点P0(x0 ,y0)处的极限值等于该点 函数值，即： Date31 返回上页页下页页目录录 定义4 设函数f(x,y)的定义域为D， 是D的聚点 .如果函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)的间断点. 例如函数 其中定义域 ，O(0,0)是D的聚点.f(x,y)当 时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函 数的一个间断点； Date32 返回上页页下页页目录录 圆周 上的点都是D的聚点 ，而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不 连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点. 其定义域为 又如函数 Date33 返回上页页下页页目录录 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数 仍然适用，根据多元函数的极限运算法则，可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数 的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函 数也是连续函数. Date34 返回上页页下页页目录录 多元初等函数：由常数及具有不同变变量的一元 基本初等函数经过经过 有限次的四则则运算和复合步 骤骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数 一切多元初等函数在其定义义区域内是连续连续 的 定义义区域是指包含在定义义域内的区域或闭闭区域 Date35 返回上页页下页页目录录 解: 原式 例6（课本 例9）求 Date36 返回上页页下页页目录录 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 Date37 返回上页页下页页目录录 内容小结 1. 区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 Date38 返回上页页下页页目录录 有 4. 多元函数的连续性 1) 函数 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ;最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 3. 多元函数的极限 Date39 返回上页页下页页目录录 作业 习 题 7-1 P69-70 6(2)(3)(4)(5); 7(1) Date40 返回上页页下页页目