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第八章第八章 MATLABMATLAB数值积分数值积分 与微分与微分 Date1 n 数值积分 n 数值微分 *2 8.1 8.1 数值积分数值积分 8.1.1 8.1.1 数值积分基本原理数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生的梯形法、辛普生(Simpson)(Simpson) 法、牛顿柯法、牛顿柯 特斯特斯(Newton-Cotes)(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法等都是经常采用的方 法。它们的基本思想都是将整个积分区间法。它们的基本思想都是将整个积分区间 a,ba,b 分成分成n n个子区间个子区间xi,xi+1xi,xi+1，i=1,2,ni=1,2,n， 其中其中x1=ax1=a，xn+1=bxn+1=b。这样求定积分问题就。这样求定积分问题就 分解为求和问题。分解为求和问题。 Date3 8.1.2 8.1.2 数值积分的实现方法数值积分的实现方法 1. 1. 变步长辛普生法变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，基于变步长辛普生法，MATLABMATLAB给出了给出了 quadquad函数来求定积分。该函数的调用格式为：函数来求定积分。该函数的调用格式为： I,nI,n=quad(fname,a,b,tol,tracequad(fname,a,b,tol,trace) ) 其中其中fnamefname是被积函数名。是被积函数名。a a和和b b分别是定积分别是定积 分的下限和上限。分的下限和上限。toltol用来控制积分精度，缺省用来控制积分精度，缺省 时取时取toltol=0.001=0.001。tracetrace控制是否展现积分过程，控制是否展现积分过程， 若取非若取非0 0则展现积分过程，取则展现积分过程，取0 0则不展现，缺省则不展现，缺省 时取时取trace=0trace=0。返回参数。返回参数I I即定积分值，即定积分值，n n为被积为被积 函数的调用次数。函数的调用次数。 Date4 (1) (1) 建立被积函数文件建立被积函数文件fesin.mfesin.m。 function f=function f=fesin(xfesin(x) ) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) (2) 调用数值积分函数调用数值积分函数quadquad求定积分。求定积分。 S,nS,n=quad(fesin,0,3*pi)=quad(fesin,0,3*pi) S =S = 0.9008 0.9008 n =n = 77 77 例例8-1 8-1 求定积分。求定积分。 Date5 2. 2. 牛顿柯特斯法牛顿柯特斯法 基于牛顿柯特斯法，基于牛顿柯特斯法，MATLABMATLAB给出了给出了 quad8quad8函数来求定积分。该函数的调用格式函数来求定积分。该函数的调用格式 为：为： I,nI,n=quadl(fname,a,b,tol,tracequadl(fname,a,b,tol,trace) ) 其中参数的含义和其中参数的含义和quadquad函数相似，只是函数相似，只是toltol 的缺省值取的缺省值取10-610-6。 该函数可以更精确地求出该函数可以更精确地求出 定积分的值，且一般情况下函数调用的步数定积分的值，且一般情况下函数调用的步数 明显小于明显小于quadquad函数，从而保证能以更高的效函数，从而保证能以更高的效 率求出所需的定积分值。率求出所需的定积分值。 Date6 (1) (1) 被积函数文件被积函数文件fx.mfx.m。 function f=function f=fx(xfx(x) ) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(xcos(x);); (2) (2) 调用函数调用函数quadlquadl求定积分。求定积分。 I=quadl(fx,0,pi)I=quadl(fx,0,pi) I =I = 2.4674 2.4674 例例8-2 8-2 求定积分。求定积分。 Date7 例例8-3 8-3 分别用分别用quadquad函数和函数和quadlquadl函数求定积分的函数求定积分的 近似值，并在相同的积分精度下，比较函数近似值，并在相同的积分精度下，比较函数 的调用次数。的调用次数。 Date8 3. 3. 被积函数由一个表格定义被积函数由一个表格定义 在在MATLABMATLAB中，对由表格形式定义的函数中，对由表格形式定义的函数 关系的求定积分问题用关系的求定积分问题用trapz(X,Ytrapz(X,Y) )函数。其中函数。其中 向量向量X,YX,Y定义函数关系定义函数关系Y=Y=f(Xf(X) )。 例例8-4 8-4 用用trapztrapz函数计算定积分。函数计算定积分。 Date9 8.1.3 8.1.3 二重定积分的数值求解二重定积分的数值求解 使用使用MATLABMATLAB提供的提供的dblquaddblquad函数就可以直接函数就可以直接 求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用 格式为：格式为： I=I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,tracedblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) ) 该函数求该函数求f(x,yf(x,y) )在在 a,bc,da,bc,d 区域上的二重定区域上的二重定 积分。参数积分。参数toltol，tracetrace的用法与函数的用法与函数quadquad完全相完全相 同。同。 Date10 例例8-5 8-5 计算二重定积分计算二重定积分 (1) (1) 建立一个函数文件建立一个函数文件fxy.mfxy.m： function f=function f=fxy(x,yfxy(x,y) ) global global kiki; ; kiki=ki+1; %=ki+1; %kiki用于统计被积函数的调用次数用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y); (2) (2) 调用调用dblquaddblquad函数求解。函数求解。 global global ki;kiki;ki=0;=0; I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1) kiki I =I = 1.57449318974494 1.57449318974494 kiki = = 1050 1050 Date11 8.2 8.2 数值微分数值微分 8.2.1 8.2.1 数值微分的实现数值微分的实现 在在MATLABMATLAB中，没有直接提供求数值导数的中，没有直接提供求数值导数的 函数，只有计算向前差分的函数函数，只有计算向前差分的函数diffdiff，其调用格，其调用格 式为：式为： DX=DX=diff(Xdiff(X) )：计算向量：计算向量X X的向前差分，的向前差分， DX(iDX(i)=X(i+1)-X(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1i=1,2,n-1。 DX=DX=diff(X,ndiff(X,n) )：计算：计算X X的的n n阶向前差分。例如阶向前差分。例如 ，diff(X,2)=diff(X,2)=diff(diff(Xdiff(diff(X) )。 DX=DX=diff(A,n,dimdiff(A,n,dim) )：计算矩阵：计算矩阵A A的的n n阶差分，阶差分， dim=1dim=1时时( (缺省状态缺省状态) )，按列计算差分；，按列计算差分；dim=2dim=2， 按行计算差分。按行计算差分。 Date12 例例8-6 8-6