创新设计(高中理科数学-2.ppt

诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 第3讲 平面向量的数量积 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 最新考纲 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个 平 面向量的垂直关系. 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 知 识 梳 理 1平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即 ab ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0. (2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上 的投影 的乘积 |a|b|cos |a|b|cos |b|cos 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 3平面向量数量积的运算律 (1)abba(交换律) (2)ab(ab)a(b)(结合律) (3)(ab)cacbc(分配律) 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 辨 析 感 悟 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 2对平面向量的数量积的性质、运算律的理解 (4)ab0，则a0或b0. () (5)(ab)ca(bc)() (6)abac(a0)，则bc.() 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 感悟提升 三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量，而不是 向量，如(1)； 二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不 是向量设向量a，b的夹角为，当为锐角时，投影为正值；当 为钝角时，投影为负值；当为直角时，投影为0；当0时， b在a的方向上投影为|b|，当180时，b在a方向上投影为|b| ，如(2)；当0时，ab0，180，ab0，即ab0是两 个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)； 三是ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能 ab，如(4) 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 考点一 平面向量数量积的运算 【例1】 (1)(2014威海期末考试)已知a(1,2)，2ab(3,1)， 则ab( ) A2 B3 C4 D5 (2)(2013江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为 ，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_ 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用 向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据 已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 考点二 向量的夹角与向量的模 【例2】 (1)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角 的余弦值为_ (2)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab| _. 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 考点三 平面向量的垂直问题 【例3】 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0) (1)求证：ab与ab互相垂直； (2)若kab与akb的模相等，求(其中k为非零实数) 审题路线 证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向 量的数量积问题，数量积为零即得证由模相等，列等式、化 简求. 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 (1)证明 (ab)(ab)a2b2|a|2|b|2 (cos2sin2)(cos2sin2)0， ab与ab互相垂直 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 规律方法 (1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则 只需证明ab0x1x2y1y20. (2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量 作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行 运算证明ab0. (3)数量积的运算ab0ab中，是对非零向量而言的，若a 0，虽然有ab0，但不能说ab. 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 (1)证明：ab； (2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b， dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t) 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何 意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的 应用 2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的 运算转化为向量的数量积的运算 3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最 值问题常用的方法与技巧. 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 诊断基础知识突破高频考点培养解题能力 答案 1,4 诊断基础知识突破高频