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卫星 一、问题的提出 10.4.1 二重积分的几何应用 定积分可以求得平面曲线之弧长,与此相当,二重 积分可求空间曲面之面积. 设n 是光滑曲面(如图)： 1) 方向余弦 二、曲面面积的积分公式 上过点处的法向量. 若为锐角, 则由 立得（夹角余弦公式）： 1.复习和预备 2) 面积投影定理 在曲面上点 处取切平面 小块dA,以代替曲面上相应的面积微 (称为面积元素) 元dS, 使其与dA在D上有共同投影d 取切平面A与D之交线L为x轴,如 故得 x y 下图(矩形). 当 为锐角时, 由于 2.曲面面积的定义与公式 记 是与 有相同投影 当 充分小时, 显然有: 从而取 则有: 定义 将S任意分为不重叠的小曲面之和(如上), 而 将S任意分为: (不重叠) 的面积记为 的切平面小块, 借用定积分基本思想： 若曲面方程为： 则曲面面积为： 若曲面方程为： 则曲面面积为： 评注 1)同理可得 存在, 则称其为曲面S的面积.记为： 解 曲面在 xoy 面上投影为则 出的面积 A . 3. 公式应用 上述公式的应用步骤如下： 被柱面所截例1 计算双曲抛物面 1) 由题设确定曲面方程及其投影区域 D; 2) 给出D的合适表述, 代入公式化为二次积分. 解 解解方程组 得两曲面的交线为圆周 在 平面上的投影域为 1. 直角坐标下的曲面面积公式及应用 2. 参数方程下的曲面面积公式及应用 3. 课堂练习 书P130: 习题2； 三、小结与练习 书P130: 习题1； 四、作业 一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 解方程组求交点 3. 确定积分限的方法 累次积分法 二重积分计算法习作与练习 例1 求下列积分 解 先y后x,直接求. 解 作图,取x-型为简. 解法一 用直角坐标直接求； 解法二 用对称性及奇函数直接求； 所围成. 例2 计算二重积分 其中D 为圆周 所围闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 例3 计算二重积分其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . (2) 积分域如图:将D 分为添加辅助线 利用对称性 , 得 例5 计算二重积分 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为圆域 把与D 分成作辅助线 (2) 提示: 两部分 说明: 若
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