概率论与数理统计大题解题索引.docx

概率论与数理统计辅导讲义概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健 审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】v 全概率公式：v 贝叶斯公式：【相关例题】1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。 则，且，两两互不相容，由全概率公式得 （1） （2）由贝叶斯公式得 = 2.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人来迟的概率； ( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。 解：设事件表示：“此人来迟了”；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（，4）。则，且，两两互不相容 （1）由全概率公式得 （2）由贝叶斯公式得= 题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、 求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式：，且对于任意实数，有：。【相关例题】（1）设随机变量X的分布函数为： FX（X）= 12 （2），是确定常数A。 （3）设随机变量X具有概率密度f(x)= ，求X的分布函数。 0,其他解： 0，x0 2、 正态分布【相关公式】（1）公式其中：（2） 若（3） 相关概率运算公式： 【相关例题】1、 某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mmHg计）服从N（110,122），在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X，求：（1）（2）确定最小的2、 由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数的正态分布，规定长度在范围内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。【题型三】二维随机变量的概率密度和边缘概率密度事件的独立性1.设为由抛物线和所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求：（1）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量与是否相互独立。 解：如图所示，的面积为 因此均匀分布定义得的联合概率密度为 1 而 所以关于和关于的边缘分布密度分别为 （2）由于，故随机变量与不相互独立。2.设二维随机变量（，）的概率分布为 求：（1）随机变量X的密度函数； （2）概率。解：（1）时，=0； 时，= 故随机变量的密度函数= （2） 3.设随机向量的概率密度为 试求:（1）常数；（2）关于的边缘概率密度。解：（1）由归一性 所以。 的联合概率密度为 （2）关于的边缘概率密度为 即 同理可求得关于的边缘分布密度为 4.设随机变量（，）具有概率密度 ，求（1）常数C；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于，故 1=所以=1，即 （2） ，即 ，即 【题型四】最大似然估计的求解【相关公式】【相关例题】1、 设概率密度为： 2、 的总体的样本，未知，求的最大似然估计。【题型五】正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】【相关例题】1、 某批矿砂的5 个样品中的镍含量，经测定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在=0.01下能否接受假设，这批矿砂的镍含量的均值为3.25.2、某种导线，要求电阻的标准差不得超过0.005，尽在一批导线中取样品9根，测得s=0.007，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平=0.05下能否认为这批导线的标准差显著偏大？【证明题部分】1.设事件相互独立，试证明： （1）事件相互独立； （2）事件相互独立； （3）事件相互独立。 证明：（1）欲证明相互独立，只需证即可。而 所以事件相互独立。同理 （2）由于 所以事件相互独立。 （3）由于 所以事件相