不定积分的概念与性质(30).ppt

如果在某个地方我们看到人类 精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正 是在这里. 恩格斯 在一切理论成就中,未必再有什 么像17世纪下半叶微积分的发现那样 被看作人类精神的最高胜利了. 第四章 不 定 积 分 求原函数? 求已知函数的导数和微分! 相反的问题: 已知函数的导数或微分, 1 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 不定积分的性质 indefinite integral 第四章 不定积分 2 一、原函数与不定积分的概念 几何 问题 解 例 设曲线上任一点的切线斜率都等于切点 横坐标的两倍, 求曲线的方程. 设曲线方程为 满足此条件的函数有无穷多个, 所求曲线方程为 C为任意常数. 不定积分的概念与性质 3 定义1 例 1. 原函数 如果在区间I上, 或 原函数. 或 是 原函数. 也是的原函数, 其中 为任意常数. 不定积分的概念与性质 4 的原函数(C为任意常数). 因 一个函数如果有原函数,就有无穷多个. 在区间I上的一个定理 (函数族)f (x)的全部原函数: 原函数, 结 论 不定积分的概念与性质 故 证的另一个原函数, 5 积分变量 积分常数 被积函数 定义2 被积表达式 2. 不定积分 不定积分. 全部原函数 称为函数f (x)的记为 不定积分的概念与性质 积分号 6 例 求 解 解 例 不定积分的概念与性质 7 (2)不定积分的几何意义 积分曲线 称为的积分曲线. 的图形： 的图形 族. 不定积分的概念与性质 各切线相互平行. x 8 不定积分的概念与性质 解 故所求曲线方程为 (3) 积分常数的确定 求通过点 且其切线斜率为2x曲线. 例 的曲线族为 有 9 （4）原函数存在定理 连续函数一定有原函数.定理2 哪些函数有原函数 又如何求其原函数 不定积分的概念与性质 原函数是否必为连续函数 10 不定积分的定义? ! 结论 微分运算与求不定积分运算 如 (1)或 或 互逆互逆. 二、不定积分的性质 不定积分的概念与性质 11 证 等式成立.（可推广到有限多个函数之和） (2) 线性性质: 思考: k = 0,等式是否成立? (3) 不定积分的概念与性质 12 实例 启示 根据求导公式得出积分公式 结论 要判断一个不定积分公式是否正确, 只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数. 求导公式积分公式. 三、基本积分公式 不定积分的概念与性质 积分运算和微分运算是互逆的， 13 基 本 积 分 公 式 (k是常数) 说明： 不定积分的概念与性质 14 不定积分的概念与性质 熟 记 15 例 求积分 解 求一些简单函数的不定积分- 利用不定积分的性质和基本积分公式, 直接积分法. 不定积分的概念与性质 16 例 求积分 解 不定积分的概念与性质 17 例 求积分 解 不定积分的概念与性质 18 例 求积分 解 -分项积分法. 利用线性性质计算积分 将被积函数作恒等变形, 不定积分的概念与性质 19 例 求积分 解 不定积分的概念与性质 对被积函数进行恒等变形, 再使用基本积分表求积分. 20 解 例 不定积分的概念与性质 21 解 所求曲线方程为 不定积分的概念与性质 已知一曲线 y = f (x)在点( x, f (x)处的切线例 斜率为且此曲线与y轴的交点为 (0,5), 求此曲线的方程. xx x y sinsec d d 2 += Q 22 不定积分的概念与性质 23 熟记基本积分公式 不定积分的性质 原函数的概念 不定积分的概念 求微分与求积分的互逆关系 四、小结 不定积分的概念与性质 不定