《重积分详细解答》PPT课件.ppt

第七章第七章 多元函数积分学多元函数积分学 （按积分区域分类）（按积分区域分类） 积分区域积分区域 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型：对弧长 二型：对坐标 一型：对面积 二型：对坐标 Stokes 公式 高斯公式 格林公式 多元函数积分学概况多元函数积分学概况 推推 广广 推推 广广 推推 广广 推推 广广 第一节第一节 二二 重重 积积 分分 柱体体积 = 底面积 高 特点：平顶. 柱体体积 = ？ 特点：曲顶. 曲顶柱体的体积 一、问题的提出 曲顶柱体 x 0 z y D S S : z = f (x,y) 元素法元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 2 以平代曲 曲顶柱体的体积 i x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 2 以平代曲 元素法元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 . i 曲顶柱体的体积 x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细令分法无限变细 i 2 以平代曲 元素法元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 . V = 曲顶柱体的体积 x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细令分法无限变细 2 以平代曲 元素法元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 . V = 曲顶柱体的体积 x 0 z y S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细令分法无限变细 V 2 以平代曲 元素法元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 . . V = 曲顶柱体的体积 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似看作 均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 二、二重积分的概念 定义：设 f(x,y) 是有界闭区域D上的有界函数 1. 分割 2. 取近似 3. 求和 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区 域D上的二重积分，记为： 3. 求和 4. 取极限 积分区域积分区域 积分和积分和 被积函数被积函数 积分变量积分变量 被积表达式被积表达式 面积元素面积元素 对二重积分定义的说明： （4）如果函数 f(x,y) 在有界闭区域D上有界，并且除去 有限个点和有限条光滑曲线段外都是连续的，则它 在D上可积。 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值 在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 则面积元素为 D D 性质当 k 为常数时， 性质 （二重积分与定积分有类似的性质 ） 三、二重积分的性质 性质 对区域具有可加性 性质若 为D的面积， 性质若在D上 特殊地 则有 性质 性质 （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 先讨论积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. 四、直角坐标系二重 积分的累次积分法 X型 应用计算“平行截面 面积为已知的立体求 体积”的方法, 如果积分区域为： Y型 - 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分 X 型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点. Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使 用积分公式 则必须分割. 例 计算 其中 D 由直线围成 。 解 先画出积分区域 D 。 D 是 X型 。 将 D 向 x 轴投影 。 于是， 于是， 解设 则 于是， 设 将 D 向 y 轴投影。 解 a a x z y 0 z = 0 y = 0 x = 0 a a x z y 0 . a a x z y 0 . a 例 4 2 . 0 z y x 4 2 2x+y=4 . 0 z y x x = 0 4 4 2 2x+y=4 . 0 z y x z = 0 y = 0 z=0 y =0 x = 0 4 4 2 2x+y=4 . D V = . . . 0 z y x 2 1 D 0 y x D1D2 D3 D4 D: . 怎么计算？ 此题用直角系算麻烦 必须把D分块! 将变换到极坐标系极坐标系 0 D 用坐标线坐标线: : =常数； r r = =常数常数 分割区域 D i r . . . . . . 五、利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 d d i +i I = dr r . . 例 将化为在极坐标系下的二次积分。 （1 ） （4 ） （2 ） （3 ） 0 y x12 y =x D . . . 例 由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分 z x y o . 例 a 由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分 . x y o z z = 0 a x y z o 。 V 。 。 。 维望尼曲线维望尼曲线 。 。 由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分 D 1 . 2a 2a 0 x z y a . L 联立 例 . 2a 0 x z y a . L 联立 D . . . . 解 例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于