数学竞赛专题函数奇偶性和单调性.ppt

11.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x， 都有f(x)f(x1)f(x1) 若f(0)2004，求f(2004) 解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1) f(x)f(x2) 两式相加得0f(x1)f(x2) 即：f(x3)f(x) f(x6)f(x) 12设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2+x)， f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在-30，30 上至少有13个零点且f(x)是以10为周期的函数。 解f(x)关于x=2和x=7对称。 f(4)f(2+2)f(22)f(0)0,f(10)f(7+3) f(73)f(4)0，于是（0，10上至少有两个零点 。 f(x10)f(73x)f(73x)f(4x) f(22x)f(22x)f(x)，f(x)以10为周期。 f(30)=f(30310)=f(0)=0综上，f(x)在30 ，30上至少有13个零点 13函数f(x) = 的图象的对称轴方程为x=2，则常数a= 4 . 莆田四中 许沐英 这里主要研究运用函数的概念及函数的性质 解题,函数的性质通常是指函数的定义域、 值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、 对称性等等，在解决与函数有关的(如方程 、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图 象的相关性质，可以使得问题得到简化，从 而达到解决问题的目的.关于函数的有关性 质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教 材复习,这里以例题讲解应用 一.函数奇偶性的定义： 如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有： （1）f（x）= f（x），则称 y =f（x）为奇函数 （2）f（x）= f（x），则称 y =f（x）为偶函数 例1：若 f(x)是奇函数，当x x0 0时，时，f f ( ( x x ) ) = = x x(4(43 3x x), ),求当x x时,f(x)的解析式 【解法解法1 1】x x0 0时，时，f f ( ( x x ) = ) = x x(4(43 3x x) )， 在其上取三点在其上取三点P P 1 1 （0 0，0 0）、）、 则它们关于原点的对称点分别是则它们关于原点的对称点分别是Q Q 1 1 (0(0，0)0)， 设设x x时，时， 3 4 ) 3 2 ()( 2 -+=xaxf Q Q 2 2 在其上，在其上， 解之，得解之，得a a = 3 = 3， x x时，时， 0 3 4 ) 3 2 3 4 ( 2 =-+-a )43( 3 4 ) 3 2 ( 3)( 2 +=-+=xxxxf 例1：若 f(x)是奇函数，当x x0 0时，时，f f ( ( x x ) = ) = x x(4(4 3 3x x), ),求当x x时,f(x)的解析式 【解法解法2 2】 设设x x0 0，则则x x0 0 f f ( (x x) = () = (x x)(4 + 3)(4 + 3x x) ) f f ( ( x x ) )是奇函数，是奇函数， f f ( (x x) = ) = f f ( ( x x ) ) x x0 0时，时， f f ( ( x x ) = ) =f f ( (x x )= )=x x(4+3(4+3x x) ) 例例2 2 已知函数已知函数 f f ( ( x x ) ) 对任意实数对任意实数a a，b b都有 ，且，且f f（0 0） 0 0，则，则f f ( ( x x ) )是是 （A A）奇函数非偶函数奇函数非偶函数 （B B）偶函数非奇函数偶函数非奇函数 （C C）是奇函数也是偶函数是奇函数也是偶函数 （D D）既非奇函数也非偶函数既非奇函数也非偶函数 例例3 3 函数函数y y = = f f ( ( x x ) )在在 (- (-,0,0 上是减函数，而函数上是减函数，而函数 y y = = f f ( (x x+1)+1)是偶函数设是偶函数设 ， b b = = f f ( 3 ) ( 3 ) ， c c = = f f ( ( ) ) 那么那么a a，b b，c c的大小关系是的大小关系是_._. 【解解】 , , c c = = f f ( ( ) ) y y = = f f ( ( x x+1 )+1 )是偶函数是偶函数 y y = = f f ( ( x x ) )的图像关于的图像关于x x = 1 = 1对称，对称， 于是由于是由y y = = f f ( ( x x ) )在在(- (-,0,0上递减知，上递减知， f f ( ( x x ) )在在2,+)2,+)上递增上递增 f f ( (2) = 2) = f f ( 4 ) ( 4 ) 而而 2 23 3 4 4 f f (3) (3) f f ( ( ) ) f f (4) (4)，即，即b bc ca a 例4.设设f(x)是R上的奇函数，且f(x3)f(x)，当 0x 时时，f(x)x，则则f(2003)( ) A.1B.0C.1D.2003 解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期为为6 f(2003)f(63351)f(1)f1 用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)f(x2) ; (3). 判断 f(x1)f(x2) 的符号: (4). 作结论. 分解因式, 得出因式x1x2 . 配成非负实数和. 方法小结 二.函数的单调性 例例5 5 已知函数已知函数 ，判断该函数在，判断该函数在 区间区间 上的单调性，并说明理由上的单调性，并说明理由 【解法解法1 1】 设设 11 )( 21 21 12 + - +-= xx xx xx 221121 11)()(xxxxxfxf+-+=- + + -= 11 1)( 21 12 12 xx xx xx f f ( (x x 1 1 ) ) f f ( (x x 2 2 ) ) 故函数故函数 是减函数是减函数 11 1 1 1212 11 22 + + + - xx xx xxxf-+=1)( 【解法解法2 2】 x x00时，时， 和和 都是增函数，都是增函数， 也是增函数， 也是增函数， 从而从而 是是 上的减函数上的减函数 xx xxy + =-+= 1 1 1 xx+ +1 xx y + = 1 1 )+ , 0 例例6 6 填空填空 （1 1）函数）函数 的递增区间是的递增区间是_ （2 2）函数）函数 递减区间是递减区间是_ 在在y y轴左侧，增减的转折点是轴左侧，增减的转折点是x x= =2 2，且先减且先减 后增，故后增，故-2,0 -2,0 是递增区间；是递增区间； 在在y y轴右侧，增减的转折点是轴右侧，增减的转折点是x x = 2= 2，且先减后且先减后 增，故增，故2,+2,+) 是递增区间是递增区间 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -6-4-224 例7.已知(3xy)2001x20014xy0， 求4xy的值值. 解：构造函数f(x)x2001x，则则 f(3xy)f(x)0 注意到f(x)是奇函数且为为R上的增函数， 所以 3xyx 4xy0 例8解方程：ln( x)