(课件)29[1].1几何问题的处理方法.ppt

29.1 几何问题的处理方法 逻辑推理是研究数学的一个重要的 基本方法。几何学的研究充分运用了这 一方法。 这就是中国明代伟大的科学家徐 光启与他翻译的几何原本。 哥白尼 地球是运动的 缺乏依据,无法证明 探索几何图形性质的 常用的两种方法? （1）通过看一看、画一画、比一 比、量一量、算一算、想一想、猜 一猜得出结论，并在实验、操作中 对结论作出解释的方法； （2）用逻辑推理的方法。 知识回顾 做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的 等腰三角形可以不一样，如图，把纸片对折 ，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗？ 想一想： 可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以 等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD的在的直线 就是它的对称轴。 这种合情推理的方法是研究几何图形属性的 一种基本方法。同时也学习了用逻辑推理的方法 去探索一些几何图形所具有的属性。 由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样 线段BD与CD也重合。所以B C。 等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角” 等腰三角形是轴对称图形 B=C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” BD=CD，AD为底边上的中线 ADB=ADC ，AD为底边上的高线 BAD=CAD，AD为顶角平分线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合 简称“三线合一” 例1 已知：在ABC中，ABAC， B80，求 C和A的度数。 用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有 的属性这种合情推理的方法是研究问题的 又一种基本方法。 解：ABAC（已知）， C B 80（等边对等角） A B C180 （三角形内角和等于180 ） A180 B C（等式的性质） 180 80 80 20 。 逻辑推理的方法是研究数学的一个 重要的基本方法. 逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本 事实作为逻辑推理的,最原始的依据,因此在第 19章中,给出了如下的公理: (1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等. (2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行。 (3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其 夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角 形全等。 (4)全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。 你还记得吗？回忆1 等式、不等式的有关性质以及选等 量代换也是推理的依据。也将“经过两 点有且只有一条直线”以及“经过直线外 一点有且只有一条直线与已知直线平行 ”（平行公理）作为添加辅助线的依据 。 有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理 的方法证明本教材中出现地的所有的几何图 形的属性。 AB CD 2 4 E F 1 3 平行线的性质 如图AB/CD, 同位角1 1 与与2 2大小大小 有什么关系？其他同位角大小也有有什么关系？其他同位角大小也有 这样的关系吗？这样的关系吗？ 关于同位角， 哈哈，看我小 兔的！ 平行线的性质 AB C D c 2 1 结论： 如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 简 记： 两直线平行 同位角相等 如图 若AB/CD 则 1 1 = = 2 2 讨论:在这个特征中,条件是什么?结论是 什么? 它与”同位角相等,两直线平行” 有什么不同? AB CD 2 4 E F 1 3 平行线的性质 如图AB/CD, 内错角 与与 大小有什么关系？大小有什么关系？ 关于内错角 ，看我小熊 的！ 如果两条平行直线被第三条直 线所截，内错角相等。 我们可以猜想得到: 同学们，帮帮忙，请你们利用小兔 的结论来证明一下我的结论，好吗 ？ 小兔：两直线平行，同位角相等。 小熊：两直线平行，内错角相等。 证明： a / b ( 已 知 ) （两直线平行，同位角相等） 又 1= 2 （对顶角相等） 2= 3（等量代换） 1= 3 平行线的性质 AB CD 2 4 E F 1 3 如图AB/CD, 内错角 与与 大小有什么关系？大小有什么关系？ 看完我的演 示,得到什么 结论呢? 结论：如果两条平行直线被第 三条直线所截，内错角相等。 简 记： 两直线平行， 内错角相等 若AB/CD 则 AB CD 2 4 E F 1 3 平行线的性质 如图AB/CD, 同旁内角 与与 大小有什么关系？大小有什么关系？ 关于同旁内角 ，呵呵，看我 小猴的！ 猜想: 两条平行直线被第三条直线 所截，同旁内角互补 同学们，请你们帮忙证 明我的结论吧！呵呵 小猴：两直线平行，同旁内角互补。 a / b ( 已 知 ) 2= 3 （两直线平行，内错角相等） 证明： 小熊：两直线平行，内错角相等。 又 3 + 4 = 180 （邻补角的定义） 2 + 4 = 180 小兔：两直线平行，同位角相等。 AB CD 2 4 E F 1 3 平行线的性质 如图AB/CD, 同旁内角 与与 大小有什么关系？大小有什么关系？ 结论：两条平行直线被第三 条直线所截，同旁内角互补 简 记： 两直线平行， 同旁内角互补 若AB/CD 则2 + 4 = 180 平 行 线 的 性质 1. 两直线平行，同位角相等。 2. 两直线平行，内错角相等。 3. 两直线平行，同旁内角互补。 （若a / b ，则1=3 ） （若a / b ，则2=3 ） （若ab ，则2+4=180） 如图,三根木条相交成1与2,固定木条 b,c，转动木条a。并猜想: 1与2满足什 么条件时, a/b? 1 2 a b c 做一做： b 回忆: 我们以前是怎样过已知直线a外一点p画a的平行线b的? 45 c a p 45 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 平行线的判定方法1: 同位角相等,两直线平行. a b c 3 2 1 如图:如何判断这块玻璃板的上、下两边平行？ 解：如果1 =3， 又2=3, ab 1=2，(等量代换) （对顶角相等） (同位角相等,两直线平行) 已知1 =3，直线a、b会平行吗？ 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 平行线的判定方法2： 内错角相等，两直线平行。 想一想: 解： 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 平行线的判定方法3： 同旁内角互补，两直线平行。 1+4=180（已知） 又2+4=180（平角的定义） 1=2（同角的补角相等） a/b（同位角相等，两直线平行） a b c仿照上例,如果1 1+ +4=1804=180 , ,那么那么ab吗? 1 4 2 想一想: 求证：三角形的内角和为180 感受证明 A B C 已知：ABC 求证：A+B +C=180 由此我们知道，逻 辑推理是最终确认几何 图形属性的重要方法。 三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角和 联想 直角三角形的两锐角互余 边形的内角和等于 （2）180。 例 求证：三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角和 已知：如图，CBD是ABC的一外角。 求证：CBD=A+C 图29.1.3 D C B A w证明:A+ABC+C=1800(三角形 内角和定理), wA C1800 ABC（等式的性质 ） w ABC+CBD=1800(平角的定义), w CBD=1800ABC.(等量性质). w CBDAC (等量代换). 由于这里所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断其他 命题真假的依据，因此我们把这一真命题也作为定理。 w如图. 1是ABC的一个外角, 1与图 中的其它角有什么关系? w1+4=1800 ;12;13; w1=2+3. w证明:2+3+4=1800(三角形内角和定理), w 1+4=1800(平角的意义), w 1= 2+3.(等量代换). w 12,13(和大于部分). A BCD 1 2 34 w能证明你的结论吗? w用文字表述为: w三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 . w三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . w在这里,我们通过三角形内角和定理 直接推导出两个新定理.像这样,由一 个公理或定理直接推出的定理,叫做 这个公理或定理的推论 w推论可以当作定理使用. w三角形内角和定理的推论: w推论1: 三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内 角的和. w推论2: 三角形的一个外角 w大于任何一个和它不相邻的内角. A BCD 1 2 34 有了“三角形的三个内角和等于 180”这条定理后，你能证明直 角三角形的两个锐角之间所具 有的数量关系吗？ w例2 已知:如图,在ABC中,AD平分外角 EAC,B= C. w求证:ADBC. w证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和), w ab(内错角相等,两直线平行). w B=C (已知), w DAC=C(等量代换). AD平分 EAC(已知). C= EAC(等式性质 ). DAC= EAC(角平分线的定义). A C D B E A C D B E 例2 已知:如图,在ABC中,AD平分外角 EAC,B= C. 求证:ADBC. B=C (已知), B= EAC(等式性质). AD平分 EAC(已知). DAE= EAC(角平分线的定义). DAE=B(等量代换). ab(同位角相等,两直线平行). 证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), A C D B E 例2 已知:如图,在ABC中,AD平分外角 EAC,B= C. 求证:ADBC. DAC=C (已证), BAC+B+C =1800 (三角形内角和定理). BAC+B+DAC =1800 (等量代换). ab(同旁内角互补,两直线平行). 证明:由证法1可得: w例3 已知:如图,在ABC中, 1是它 的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到 D,连接DE. w求证: 12. w证明: 1是ABC的一个外角(已知), w 13(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). w 3是CDE的一个外角 (外角定义). w 32(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). w 12(不等式的性质). C ABF 1 3 4 5 E D 2 w例4：已知:如图所示,在ABC中,外角 DCA=100,A=45. w求:B和ACB的大小. A BCD w解: DCA是ABC的一个外角(已知), w DCA=100(已知), w B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和). w 又 DCA+BCA=180(平角意义). w ACB=80(等式的性质). w A=45(已知), 你认识 外角吗?w例5：已知:国旗上的正五角星形如图所示. w求:A+B+C+D+E的度数. 解:1是BDF的一个外角(外角的意义), 分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和定 理来求