电路分析基础第三版》-第5章一阶动态电路分析.ppt

第五章 一阶动态电路分析 v 5.1 电容元件和电感元件 v 5.2 换路定律及初始值的确定 v 5.3 零 输 入 响 应 v 5.4 零 状 态 响 应 v 5.5 全 响 应 v 5.6 求解一阶电路三要素法 1 动态元件电感、电容的特性。 初始值的求法、动态电路方程的建立及求解 。 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应的含义及其它们的分析计算方法。 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。 【本章重点】 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应分析计算方法。 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。 【本章难点】 2 5.1 电容元件和电感元件 电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电 容器的理想化模型。 斜率为R 0 q u 图5-1 电容的符号、线性非时 变电容的特性曲线 当电容上电压与电荷为 关联参考方向时，电荷q与u 关系为：q(t)=Cu(t) C是电容的电容量，亦即 特性曲线的斜率。当u、i为 关联方向时,据电流强度定义 有： i=C dq/dt 非关联时： i= -C dq/dt + - u C i +q -q 5.1.1 电容元件 3 电容的伏安还可写成 ： 式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压，称为 初始电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压， 它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与该时刻 的电流 i 有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关 。因此，我们说电容是一种记忆元件，有“记忆”电流 的作用。 4 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸 收的瞬时功率为： 瞬时功率可正可负，当 p(t)0时，说明电容是在 吸收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁 场能量；当 p(t) 0后，电路 中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生 ，故属于零输入响应。 5.3.1 RC电路的零输入响应 18 -uR+uc=0 而uR=i R, ，代入上式可得 上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=Aept t0 式 式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为 式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征 方程为 RCP+1=0 式 换路后由图（b）可知，根据KVL有 19 从而解出特征根为 则通解 式 将初始条件 uc(0+)=R0IS 代入3式，求出积分常数A为 将 代入上式，得到满足初始值的微分方程 的通解为 放电电流为 t0 式 t0 式 20 令=RC，它具有时间的量纲，即 故称为时间常数, 这样、两式可分别写为 t0 t0 由于为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， 它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及 ,当t时，uc和 i 衰减到零。 21 图5-6 RC 电路零输入响应电压、电流波形图 画出uc及i的波形如图5-所示。 22 5.3.2 RL电路的零输入响应 一阶RL电路如图5-7(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图5-7 (b)所示。由于t0后，放电回 路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以 为零输入响应。 图5-7 RL电路的零输入响应 23 由图 (b)，根据KVL有 uL+uR=0 将 代入上式得 1式 iL=Ae pt t0 上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 2式 将2式代入1式，得特征方程为 LP+R=0 故特征根为 24 则通解为 若令 ，是RL电路的时间常数，仍具有时 间量纲，上式可写为 t0 3式 t0 将初始条件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出积分 常数A为 iL (0+)=A=I0 这样得到满足初始条件的微分方程的通解为 t0 4式 25 电阻及电感的电压分别是 t0 t0 分别作出 iL 、uR 和、uL的波形如图5-8(a)、(b) 所示。 由图5-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大 值）分别为iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它 们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规 律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数， 这与一阶RC零输入电路情况相同。 26 图5-8 RL 电路零输入响应iL、uR和 uL 的波形 27 从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分 析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路 ，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的 零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零 的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相 同。若用f (t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始值 ，则零输入响应可用以下通式表示为 t0 应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数 是不同的，前者=RC，后者=L/R。 28 例5-3：如图5-9 (a)所示 电路，t=0- 时电路已处 于稳态，t=0时开关S打 开。求t0时的电压uc、 uR和电流ic。 解 由于在t=0- 时电路 已处于稳态，在直流电 源作用下，电容相当于 开路。所以 图 5-9 例 3 图 由换路定律，得 作出t=0+等效电路如 图(b)所示， 29 电容用4V电压源代替，由图(b)可知 换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (C)所示，为： 时间常数为 30 A V t0 t0 也可以由 求出 i C = -0.8e -t A t0 V t0 计算零输入响应，得 31 5.4 零 状 态 响 应 5.4.1 RC电路的零状态响应 图5-10所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭 合，电路与激励US 接通，试确定k闭合后电路中的响应。 图5-10 (a) R C电路的零状态响应 在k闭合瞬间，电容电 压不会跃变，由换路定律 uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 时电 容相当于短路，uR(0+)=US， 故 电容开始充电。随着时 间的推移，uC将逐渐升高， 32 uR则逐渐降低，iR（等于ic） 逐渐减小。当t时， 电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。 由kVL uR+uc=US 而 uR=RiR=RiC= ，代入上式可得到以uc 为变量的微分方程 t0 1式 初始条件为 uC(0+)=0 1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成 ：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐 次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即 uc=uch + ucp 33 将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故 由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式 完全相同, 因此其通解应为 式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励 为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得 1式的解（完全解）为 ucp =k=US 34 t0 2式 由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=时， uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电 压上升到稳态值uc=()=US 的63.2%所需的时间是。而当 t=45时，u c上升到其稳态值US的98.17%99.3%，一般认 为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为 t0 t0 t0 由于稳态值 ，故上式可写成 35 根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如 5-10 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过 程一致。 图5-10 (b)、(C) R C 电路零状态响应 uc、ic、iR及uR波形图 36 5.4.2 RL电路的零状态响应 图5-11 (a) 一阶RL电路 的零状态响应 对于图5-11(a)所示的一阶RL电路，US为直流电压源， t0时，电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与 激励US接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有 iL(0+)= iL(0-)=0, 选择iL为首先求解的变量，由KVL有： uL+uR=US 将 , uR=RiL , 代入上式，可得 初始条件为 iL (0+)=0 1式 37 1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次 方程的通解iLh 和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即 iL=iLh+iLp 其齐次方程的通解也应为 式中时间常数=L/R，与电路激励无关。非齐次方程 的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故 特解 iLP为常量，令iLP =K，代入1式得 因此完全解为 38 代入t=0时的初始条件 iL(0+)=0得 于是 由于iL的稳态值 ，故上式可写成： t0 电路中的其他响应分别为 t0 39 它们的波形如图5-11 (b)、(c)所示。 t0 t0 图5-11 (b) (C) 一阶RL电路的零状态响应波形图 40 其物理过程是，S闭合后，iL(即 iR)从初始值 零逐渐上升，uL从初始值 uL(0+)=US 逐渐下降， 而uR从 uR(0+)=0逐渐上升，当 t=，电路达到 稳态，这时L相当于短路，iL()=USR， uL()= 0，uR()= US。从波形图上可以直观地 看出各响应的变化规律。 41 5.4.3 单位阶跃响应 单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下： (t) = 0 t 0- 1 t 0+ (t)的波形如图5-12(a)所示，它在（0-，0+）时域内发 生了单位阶跃。 图 5-12 单位阶跃函数 42 单位阶跃函数可以用来描述图5-12 (b)所示的开关动 作，它表示在t=0时把电路接入1V直流源时u(t)的值，即 ： u (t)= (t) V 如果在 t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电 路的时间推迟到 t=t0，其波形如图5-13所示，它是延迟的 单位阶跃函数，可表示为 (t-t0) = 0 tt 0- 1 tt 0+ 图 5-13 延迟的单位阶跃函数 43 当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应 称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。对于图5-12所示电 路的单位阶跃响应，只要令US=(t)就能得到，例如电容 电压为 若图5-10的激励uS=K(t)（K为任意常数），则根据 线性电路的性质，电路中的零状态响应 如单位阶跃不是在t=0而是在某一时刻 t0时加上的， 则只要把上述表达式中的t改为t-t0，就行了。例如这种情 况下的uC为 44 均应扩大K倍，对于电容有 例5-4 求图5-14 (a)电路的阶跃响应 uC。 解 先将电路ab左端的部分用戴维南定理化 简， 得 图5-14(b)所示电路。由图 (a)可得 图 5-14 例 4 图 45 3u1+u1=0 u1=0 则 于是 式中 =R0C=210-6S 将ab端短路，设短路电流为ISC（从a流向b） 46 5.5 全 响 应 由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的 响应，叫全响应。 如图5-15所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭合 ，显然电路中的响应属于全响应。 图5-15 RC电路的全响应 47 对t0的电路，以uC为求解变量可列出描述 电路的微分方程为 1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅 只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的 形式，即 代入初始条件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US 1式 48 从而得到 通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电 路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微 分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是 全响应的一种特殊情况。 上式的全响应公式可以有以下两种分解方式: 1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第 一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称 暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US = uC()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的 形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量 。 2式 49 2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。 将2 式改写后可得： 3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零 状态响应。 因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号 ，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加 性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加 ，即 全响应=零输入响应+零状态响应 3式 这样有：全响应=暂态响应+稳态响应 50 5.6 求解一阶电路三要素法 如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流 的初始值，f () 表示响应的稳定值， 表示电路的时间 常数，则电路的响应可表示为： 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、 电流响应的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 称为三要素，把按三要素 公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊 情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一 种响应，具有普遍适用性。 51 用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应 ，其求解步骤如下： 一、 确定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的 数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样 的。 (1) 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0 -), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时 电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。 (2) 作t=0+ 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定 各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0- )=I0，在此电路中C用电压源U0代替， L用电流源 52 图5-16 电容、电感元件在t=0时的电路模型 代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路 线代替，L视为开路。可用图5-16说明。作t=0+ 电路后， 即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。 53 二、确定稳态值f() 作t=电路。瞬态过程结束后，电路进入了新 的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u()、 i()。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路 线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值 。 三、求时间常数 RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中 ，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看 进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。 例5-5 图5-17 (a)所示电路中，t=0时将S上， 求t0时的 i1、iL、uL。 54 图 5-17 例 5 图 解：(1) 先求iL(0-)。作t=0- 电路，见图(b)，电感用短路 线代替，则 55 (2)求 f(0+)。作t=0+电路，见图(C), 图中电感用4/3A的电流源代替，流向与图(b)