A题数学建模论文.doc

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 吉林师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 宋关华 2. 李婷婷 3. 卢时伟 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 滕飞 日期： 2008 年 9 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数码相机定位摘要数码相机在计算机视觉中的应用逐渐普及和深入，在应用中数码相机的标定相当重要.本文根据数码相机的成像原理，由摄影几何学中的相关知识，提出了一种标定方法.将数码相机的成像过程转化为图像在四个坐标系的变换，实现了三个变换步骤，分别将世界坐标系中的信息转换到摄像机坐标系，再由摄像机坐标系转换到图像坐标系，最后由图像坐标系转换到像素坐标系.本文通过一台相机拍摄的二维图像，实现空间坐标系与像平面坐标的透视变换，设计了一种方法检验了建立的模型算法，模型具有较好的稳定性.同时完成了对双目标定的重构，给出了两部固定相机相对位置的数学模型和方法.1、对问题中给定的标定图像及由相机拍摄得到的图像，引入四个坐标系即世界坐标系、摄像机坐标系、图像坐标系、像素坐标系，由坐标系的转换关系得到确定像平面坐标的数学模型.通过对内部参数矩阵及外部参数矩阵的确定实现了以圆为标定图像时，圆心坐标的转换，得到了圆心在像坐标系的坐标，建立确定靶标上圆的圆心在像平面坐标的数学模型.2、由给定的像平面建立坐标系，确定各圆心的坐标，根据（1）的模型利用Matlab编 程 解得投影矩阵（即内外参数），再根据坐标于内外参数的关系得到靶标上圆的圆心在像平面的坐标。算的结果如下表:表（一）世界坐标(）毫米（12,112）（42,112）（112,112）（12,12）(112,12)像素坐标（）像素（326.5290,191.3318）（419.8290,195.1718）（637.5290,204.1318）（279.9890,496.8318）(590.9890,509.9318)图像坐标（）毫米（-49.0664，50.9704）（-24.3839，49.9546）（33.2087，47.5842）（-61.3786，-29.8497）（20.8966，-33.3153）3、根据射影几何中直线与点结合性经过摄影变换的保持不变的性质可知两个共面的圆具有公共切线的性质经过透视投影之后仍成立，利用几何板测出像平面上靶标圆心坐标，即可检验模型的稳定性. 4、进一步研究两部相机成像从而来确定实物的位置，即双目定位，给出一种简单的相机空间三维重建，简单地可以让两部相机公面且光轴互相平行，由中心摄影比例关系可知两部相机相对位置关系.最后，将简化模型推广建立了一般模型，实现了摄像机标定与三维重构.本文理论上提出了一种对相机直接标定的数学模型于算法，此算法简化了计算机过程，避免了对多余参数的计算.关键词 双目定位 三维重建 射影几何 摄像机标定 一、问题重述与分析数码相机在现实生活中有广泛的应用，如通过数码相机可以确定物体表面某些点的位置的特征，来给物体定位.常用的定位方法是双目定位,它的主要原理是对物体上一个特征点用两部固定在不同位置的相机摄得物体的像,分别获得该点在两部相机像平面上的坐标.只要知道两部相机精确的相对位置,就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标,即确定了特征点的位置.而对于双目定位的关键在于两部相机的位置,这一过程为系统标定.标定的过程由于无法直接得到没有几何尺寸的“点”，利用平面画圆的标靶方法来把对应圆与像的圆心找到，标定实现.（1）、建立数学模型和算法确定靶标上的圆心在该相机像平面的像坐标,以该相机的光心为原点建立坐标系,我们计算各个坐标系之间的转化,从而得到此坐标.（2）、根据所给的图把靶标上的圆丰富的圆心在像平面上的图像坐标,通过坐标之间的转化求出相机的内外参数,利用计算机编程求得圆心的像坐标.（3）、根据摄影几何中直线和点的结合性经过摄影变换仍然保持不变的性质,利用切线和切点来求出像点坐标进行检验.（4）、确定两部固定相机的相对位置.二、条件假设1 、假设光轴与相机的成像平面垂直,两台相机的轴重合,轴相互平行.将其中一部相机沿着其轴方向平移一段距离（称为基线）后与令一部相机重合.2 、在问题四中假设两台相机的焦距及其他内部参数均相等.三、符号说明CCD-英文Charge Coupled Device 即电荷耦合器件的缩写，它是一种特殊半导体器件（）-世界坐标系，其中 ， ， 分别为坐标系的坐标轴 -摄像机坐标系，其中， ，分别为坐标系的坐标轴-图像坐标系，其中，分别为坐标轴-像素坐标系，其中 ， 分别为坐标轴 -摄像机光心，即摄像机坐标系的原点-坐标原点在CCD图像平面的中心 U-像素坐标系坐标原点在CCD图像平面左上角U轴 V -像素坐标系坐标原点在CCD图像平面左上角V轴-储存图像的行列数组 -在，坐标系中的坐标 -每一个像素在轴方向上的物理尺寸 -每一个像素在轴方向上的物理尺寸 -摄相机焦距 -旋转矩阵 -三维平移向量-假设空间中的某一点 -任何点在图像的投影位置为 -光心与点的连线- 空间某点的图像点的位置-为空间第个点的坐标 -第点的图像坐标-投影矩阵的第行列元素-为矩阵 -为维向量-矩阵的第行的前三个元素组成的行向量，-分别为平移向量的三个分量 -一条外公切线 、-圆 -椭圆，圆 、的像-的齐次坐标-的齐次坐标 -表示这条外公切线与圆、圆的切点 -非零常数因子 -一个非奇异的矩阵-空间平面上这两点之间的距离四、模型的建立与求解 问题一：为了定量描述光学成像过程,在线性模型摄像机标定中我们不妨引入四个坐标系：世界坐标系、摄像机坐标系、图像坐标系、像素坐标系.（1）世界坐标系-根据自然环境所选用的坐标系，坐标值用（）表示.（2）摄像机坐标系-以摄像机的光心点为坐标原点,轴、轴分别平行于CCD平面的垂直边,摄像机的光轴为轴,坐标值用表示.（3）图像坐标系-坐标原点在CCD图像平面的中心,X轴、Y轴分别为平行于CCD平面两条垂直边,坐标值用表示.（4）像素坐标系-坐标原点在CCD图像平面左上角U轴、V轴分别为平行于图像坐标系的X轴、Y轴,坐标值用表示,且为离散的整数值.在解决此问题时,我们将图像坐标系与像素坐标系建立在同一个面上.在计算机内N 可以用的数组来储存图像,行列图像中的每一个元素（成为像素）的数值是该图像点的亮度,在下图1，定义直角坐标系,是以像素为单位的图像坐标系的坐标即：分别是该像素在数组中的列数与行数,因此并没有用物理单位表示出该像素在图像中的位置,需要在建立以物理单位（例如毫米）表示的图像坐标系.该坐标系以图像内某点为原点.轴与轴分别与轴、轴平行.如下图1所示, 图1 图像坐标系图像坐标系表示以像素为单位的图像坐标系的坐标,表示以毫米为单位的图像坐标,这两个坐标采用的单位坐标不同但都是图像坐标系,在，坐标系中,原点是摄像机光轴与坐标系平面的交点,这一点一般位于图像中心处,由于摄像镜头的畸变也许会是这个点稍微与理想值有点偏差,若在,坐标系中的坐标为假设每一个像素在,轴方向上的物理尺寸为,这样可以通过下面的式子来联系两个坐标系借助齐次坐标与矩阵将上面的形式转化如下式： 推出它的逆变关系式： 从而方便了两个坐标系的量化转换，摄像机成像关系可如下图2表示. 图2 相机坐标系于世界坐标系其中点称为摄像机光心，在图2中光轴与图像平面的交点，即为图像坐标系的原点，摄像机坐标系即由点与,轴组成的直角坐标系。为摄相机焦距.在环境中还可以选择一个基准坐标系来描述摄像机的位置，并用它来描述环境中任何物体的位置，该坐标系称为世界坐标系.相机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵与平移向量 来描述.因此，现在在这里我们假设空间中某一点在世界坐标系与摄像机坐标系下的齐次坐标分别为,这样可以用下面这个矩阵来描述这两个坐标系之间的关系 其中，是正交单位矩阵；t为三维平移向量；为矩阵. 通过上面的介绍，非常清楚地知道了在研究相机成像经常用到的三个坐标系以及它们之间的转换关系、在这基础上来探讨一下线性模型摄像机模型的. 其实，空间上的任何一点在图像上的成像位置可以近似于真空模型，也就是任何点在图像的投影位置为，从图2，可以知道位置是光心与点的连线与图像平面的交点.可以得到如下的比例关系式： 其中，为点点图像坐标；为空间点在摄影坐标系下的坐标.这样利用其次坐标与矩阵可以表示透视摄影关系如下： 然后将式与代入式中就可以得到世界坐标系表示的点与其投影点之间的关系： 其中，；为矩阵，称为投影矩阵；完全由决定，只与摄像机内部结构有关，因此，把这些参数称为摄像机外部单数；确定一个摄像机的内外参数的过程，称之为摄像机标定.由上面的式可以知道如果确定了摄像机的内外参数，就知道投影矩阵，在知道的情况下，只要得到任何空间点,假设点的坐标为，就可以求出图像点的坐标（位置），这是因为在已知与时，由式可以给出三个方程，在这三个方程中消去就可以求出。反过来，在已知空间某点的图像点的位置以及摄像机内外参数，也不能唯一确.其实，在式中，是不可逆矩阵，当已知与时，由式给出的三个方程中消去,只可得到关于，,的两个线性方程，由这两个线性方程组成的方程组即为射线的方程，也就是说，投影点位的所有点均在该射线上，该空间点并不都是点，因此，该空间点并不能唯一地确定下来。这样来提一下由演变过来的规一化投影关系：把式代入得到：定义为规一化的图像坐标，则得到： 这样由以上的两个式子得到由此进一步得到： 上面使用规一化坐标，其实相当于假设摄像机焦距等于1的情况推导出开的，将规一化坐标转换成实际的图像坐标。问题二：首先给出如何由参照物图像来求投影矩阵图.将上面的式写成： 其中，为空间第个点的坐标；为第点的图像坐标；为投影矩阵的第行列元素。由此得出如下三个方程： 将中的消去后得到两个关于的线性方程如下： 我们观察上面的式子了解到，如果知道了标定块上个已知点的话，就可以通过它们的空间坐标以及它们的图像点坐标，得到由个关于中组成元素的线性方程，这些线性方程也可以写成矩阵的形式如下： 由上面的式子可以知道，矩阵乘以不为零的常数并不影响与的关系，因此，在式中我们指定，从而得到关于矩阵其他元素的个线性方程，这些位置元素个数为11维向量，将简写成： 其中，为式左边矩阵，为未知的11维向量；为右边的维向量；，为已知向量，当时，采用最小二乘法求出上述线性方程的解为: 向量与构成了所求解的矩阵.求出矩阵后，可由式表示的关系算出摄像机的全部内外参数。但要注意一点，求出矩阵与式所表示的矩阵相差一个常数因子，这一点可以从解方程时指定并不影响投影关系，但在分解矩阵时是必须考虑的。投影矩阵与摄像机内外参数的关系可以写成 其中，为由式求得的矩阵的第行的前三个元素组成的行向量；为矩阵第行第四列元素；为旋转矩阵的第行；，分别为平移向量的三个分量。由式得到 比较与可知，由于是正交单位矩阵的第三行，因此，可以从推导出 。在通过如下式来求 综上所说，根据公式我们利用MATLAB得到的相应取值范围即：表（二）（1.5337，1.62290）（0.1597，0.2517）（117.9308，121.6136）（0.0510，0.0867）（1.5583，1.5217）（258.9572，266.9674）任意取得三组数据利用MATLAB编程得到三组不同的，把它们对应相加并求得平均数，再把得到的平均数当作新的用于计算，再利用MATLAB编程（程序见附录（一）把摄影圆心的坐标得到，如下表：表（三） 世界坐标(）毫米（12,112）（42,112）（112,112）（12,12）(112,12)像素坐标（）像素（326.5290,191.3318）（419.8290,195.1718）（637.5290,204.1318）（279.9890,496.8318）(590.9890,509.9318)图像坐标（）毫米（-49.0664，50.9704）（-24.3839，49.9546）（33.2087，47.5842）（-61.3786，-29.8497）（20.8966，-33.3153）问题三：用基于摄影不变性的测量对我们的模型进行检验.在以下模型中，我们设计了一种新型的平面模板，并基于这一模板实现了相机的简易标定和空间点与点之间距离的测量.（一）平面模板 平面模板是由大小相同且不相交的共面圆组成，如图3为两个圆的平面模板基本结构与图像，其中表示一条外公切线，表示这条外公切线与圆、圆的切点.经过透视投影后，平面模板的图像如图4所示，直线是外公切线像，椭圆是圆、圆的像，直线是椭圆的公切线，并且切点是的图像点.图3 两个共面圆和它们的公切线图4：图3的透视投影 由摄影几何中的性质（线和点的结合性经过摄影变换仍然保持不变）可知，两个共面的圆具有公切线的性质在经过透视投影之后仍然是成立的. 根据椭圆的公切线，很容易计算出特征点来，将形如图3中的模板扩展可以得到一个方格和圆组成的模板，它的图像如图4所示，图中的黑点表示公切线与椭圆的切点，并且由这个模板可以计算出椭圆的中心来.图5应用公切线计算特征点方法1、利用几何画板做圆的切线，得到切点，两对切点连线得到相对应的圆心，得出标靶圆心坐标， ,图6 几何画板确定圆心坐标（二）平面测量 根据摄影几何中直线和点的结合性保持不变的性质，本模型取出图5中的特征点，并由这些特征点计算出空间平面与图像平面间的单应矩阵，从而能够测量出空间平面上任意两点之间的距离. 文中假设相像机模型为常见的针孔模型，则三维空间点和它们对应的图像点满足下面的关系 (17)其中,和是齐次坐标且分别为和,为非零常数因子.对于任何一个空间平面上的三维点，模型假设其中一个坐标分量为零，（也就是说把模板放在世界坐标系的平面上），即，于是 (18)因此，空间平面上的三维点和它相对应的图像点之间的关系可以由一个非奇异的矩阵来表示，这个矩阵称为单应矩阵，在相差一个非零的常数因子的意义下，这个矩阵具有个自由度。根据式（18）可得，已知一对空间平面和图像平面上的对应点，可以求得两个关于单应矩阵的个元素为未知量的线性约束.所以，若已知空间平面和它的图像平面之间的四对对应点（其中任意三点不共线），则在相差一个常数因子的意义下可以唯一确定单应矩阵. 若已知空间平面和它的图像平面之间的单应矩阵，则由图像点可以求出空间平面上的三维点坐标，因而，可以测量出在空间平面上任意两点之间的距离.假如已知空间平面的图像平面上两点的坐标，则由式（17）可得 （19） 在计算出空间平面上两点的坐标之后，从而得到空间平面上这两点之间的距离 上述提出了一种基于摄影不变性的单幅图像测量方法.在该发法中，设计了一种新型模板，该方法与基于其他模板方法相比较，具有一定的精度和鲁棒性.问题四：以上我们研究了一部相机定位问题，在此我们进一步研究两部相机成像来确定实物的位置，即双目定位.（1）我们给出一种简单的相机配置下的空间三维重建.如图7图7双相机配置假如与相机的内部构造均相同，而且两部相机均在同一平面，其中，它们的光轴相互平行，轴重合，轴互相平行。只允许两相机有位移上的偏差，但没有角度上的偏差.当用此方法配置时，两相机坐标只相差轴方向上的一个平移，此平移距离记为为与坐标系的轴.若平面与两个图像平面及的交线分别为与，由于两个图像平面位于同一个平面，则与为该平面上的同一直线，又由于图像平面平行于轴，故与与轴平行，若与分别为与及与的交点.则与分别在与上，事实上，与就是巡航面所说的极线.在进一步假设坐标系为，坐标系为，则在上述相机配置下，若任何空间点的坐标在坐标系下为，在坐标系下为.由中心摄影的比例关系可得 其中为相机内部参数，分别为与的图像坐标.过上述式子可以解出：其中，为基线长度，为视差.有上面的式子可知，有与的图像坐标可求出空间点的三维坐标. (2)可以用立体视觉方法进行三维重建，在计算机视觉中是指两幅或多幅两维图像恢复物体三位几何形状的方法。由图6看出，对于空间物体表面任意一点，用相机观察，它在相机的图像点位于，但我们仍无法由得知的确切三维位置.事实上，在(为相机的光心)连线上的任意点的图像点都是，因此，由点的位置，这样只知道空间点位于连线上的某一位置，但是如果用与两个相机同时观察点，并且如果能确定在相机图像上的点与在相机图像上的点是空间同一点的图像点，这样情况就不同了，因为知道了空间点既位于上，有位于上，因此点是与两条直线的交点，即它的三维位置是唯一确定的.以上介绍了立体视觉的基本原理.在就要从实际计算的角度出发.在什么条件下，能得到点的三维坐标. 假如物体表面上所有点的三维坐标已知，则三维物体的形状与位置就是唯一确定的.图8双摄像机看空间点最简单的方法是用立体视觉的方法获取三维点的坐标.假定，空间任意点在两个相机与上的图像点与为空间同一点的对应点，相机与已标定，它们的投影矩阵分别为与，于是有： 其中，与为与点在各自图像中的齐次坐标，为点在世界坐标系下的齐次坐标；分别为的第行和第列元素.将式展开后共产生六个式子，按将一式除以二式，二式除以三式.依次下去消去和得到四个线性方程： 只需要其中三个就可以解出,就是说，式子中，只有三个独立方程，因为假设与是空间同一点的对应点，所以就相当于已经假设直线与直线一定相交，或者可以说，四个方程必定有解，而且解是唯一的，在现实应用当中，由于数据总是有噪声的，因此必须采用最小二乘法求出.(1)这种相机的几何关系最简单，但一般情况下，这样的配置很难做到，因为在实际相机安装时，可以用相机标定方法求出任意配置的双相机的投影矩阵，因此用上面给出的普遍方法求解出点的三维坐标.五、模型的优缺点与推广模型的优点：（1）本论文比较全面的对每个问均有建立模型,且稳定性好.（2）同传统标定方法相比，该方法简单、快捷、鲁棒性好，可用于现场标定.（3）算法向并行化发展，提高速度，减少运算量，增强系统的实用性.模型的不足：本文的第四个问只给出了两部相机的相对位置模型，并没有对其进行检验.本模型有着广阔的科学应用前景，不仅能应用于机器人导航、工业检测、生物医学、反求工程、虚拟现实等领域，还有可能应用于航天遥测、军事侦察等领域.六、参考文献1 赵继广，李建峰.一种基于平面标定物体的摄像机标定方法.装备指挥技术学学报，第15卷，第2期，2004年2月.2 周立丽，车仁生.一种基于立体标定件的双摄像机外参数标定法.航天计测技术，第25卷，第4期，2005年8月.3 鲁建波，徐培全，姚舜，唐新华.圆形扫描结构光传感器的标定和焊缝检测.焊接学报，第27卷，第4期，2006年4月.4 陈西.摄像机标定与三维重建研究.北京化工大学硕士研究生学位论文.2007年6月.5 苏小华.基于双目立体视觉的计算机三维重建.南京:南京航空航天大学，2003.6 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.高等教育出版社，2003年8月.7 姜树民，刘德朋.高等几何学.陕西人民教育出版社，2000年10月.附录（一）：A=12,112,1,0,0,0;0,0,0,12,112,1; 42,112,1,0,0,0; 0,0,0,42,112,1; 112,112,1,0,0,0;0,0,0,112,112,1; 12,12,1,0,0,0;0,0,0,12,12,1;112,12,1,0,0,0;0,0,0,112,12,1M= 1.5749;0.2217;118.5716;0.0950;-1.5392;265.1242;B=A*M*2B = 324.6016 187.7476 419.0956 193.4476 639.5816 206.7476 2