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一、平面及其方程 二、直线及其方程 三、小结 思考题 第四节 平面与直线 一、平面(plane)及其方程(equation) 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量 已知 设平面上的任一点为 必有 ( normal vector ) 1、平面的点法式方程 平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面上 的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的 方程，平面称为方程的图形 其中法向量已知点 解 取 所求平面方程为 化简得 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 2、平面的一般方程 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 (intercept form) 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） 解 化简得令 代入体积式 所求平面方程为 / 三、两平面的相互关系 相交程度的反映指标 两平面的夹角 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. 两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 例6 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 两平面平行 两平面平行但不重合 两平面平行 两平面重合. 4、点到平面的距离(distance) 分析 点到平面距离公式 二、直线(straight line)及其方程 方向向量( direction vector )的定义 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量 / 1、直线的参数方程与对称式方程 直线的参数方程 直线的对称式方程(symmetric equation) 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 令 直线的一组方向数 (parametric equation) 解 所以交点为 取 所求直线方程 定义空间直线可看成两平面的交线 空间直线的一般方程 2、直线的一般式方程 例8 用对称式方程及参数方程表示直线 解在直线上任取一点 取 解得 点坐标 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 3、空间两直线的关系 其中 与 共面 与 为异面直线 为 为 其中上的点， 上的点。 两直线的特殊位置关系判定： / 直线 直线 例如， 解设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 直线 直线 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角） 两直线的夹角公式 夹角（3）两直线的 解先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N, 令 代入平面方程得 ,交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 4、直线与平面的关系 （3） 与 相交于一点 （1） 与 平行或 含于 定义直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角 (4)直线与平面的夹角 （1）投影直线可求吗？ 考虑 法向量与直线的夹角易求吗？ 与所研究向量的关系是什么？ （2） 直线 投影直线 两直线的夹角公式 借助投影直线求直线与平面的夹角 借助法向量求直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式 解 为所求夹角 设直线 由方程 5、过直线的平面束 平面的方程 （熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的关系 点到平面的距离公式 点法式方程. 一般方程. 截距式方程. （注意两平面的位置特征） 三、小结 空间两直线的关系 直线与平面的关系 过直线的平面束 直线的方程 参数方程