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1.1 集合 1.2 函数 1.4 无穷小量与无穷大量 1.3 函数的极限 1.5 函数的连续性 一、连续性概念 二、间断点及其分类 三、连续函数的性质 初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 1.5 函数的连续性 一、连续性概念 考察函数的图形： 图1 图2 几何上易见图1- 2 都是连续不断的曲线! 1.连续的定义 函数的增量定义 Z 思考题 例1 证 证 例 证 .单边连续 定理（单边连续与连续的关系） 例3 解 例4 解 .连续函数 二、间断点及其分类 图3 图4 图5 图6 观 察 函 数 的 图 形 图7 o y x 图8 图3- 8曲线在某点断开了! 1 可去间断点 图3图4 如在图3，4的情形, 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 跳跃间断点 图5 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3 第二类间断点 图6 图7 o y x 图8 Z 思考题 思考题解答 且 1、一类；一类；二类。 2、 但反之不成立. 例 但 定理2（连续函数的四则运算） 三、连续函数的性质 初等函数的连续性 例如, 连续函数的性质 定理3（反函数的连续性） p6的定理1: 注意: 定理对开区间,无穷区间均成立. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 又例如， 定理（复合函数的连续性） 设函数y=f (u)及u= (x)构成复合函数y=f (x). 则复合函数f (x) 在点x0处连续. 注意 定理5是复合函数求极限（见P30定理15）的 特殊情况. 例如, 注意 意义极限符号可以与函数符号互换，即 例5 解 （See P44定理） 例6 解 同理可得 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. 初等函数的连续性 常数函数在(-,+ )内是连续的. 基本初等函数在其定义域内都是连续的. (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 . 注意：定义区间是指包含在定义域内的区间 . 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注: 例7 例8 解 解 初等函数求极限的方法代入法. 注意 例10 求 解 说明 若则有 例如 若 小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别: 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:跳跃型,可去型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 4 连续函数的和差
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