数学课中的“数学味”(人大附杨帆).ppt

L/O/G/O 北京市朝阳区 人大附中朝阳学校小学部 杨帆 强调数学的“数学味”并非要否定数学的 “生活味”，而是要把“数学味”和“生活味 ”有效结合，在学生的数学学习中，为了有利 于他们理解抽象的数学问题，应该让数学学习 回到现实的生活、思维的原点，即找寻数学的 “根”，因为它是继承与创新的支点。因此在 数学课堂教学中，要努力挖掘课程内容资源， 紧跟数学的生活化，与学生一道寻找数学的味 。 数学课程目标 除了知识技能，还有 n四基：基础知识、基本技能、基本思想、 基本活动经验 n数学思考：抽象（直观）、模型（包括数 量、空间、数据）、推理（归纳、演绎） n发现和提出问题、分析和解决问题 n数学学习习惯：认真勤奋、独立思考、合 作交流、反思质疑 n数学兴趣、自信心 四基：基础知识、 基本技能、 基本思想、 基本活动经验 数学课程目标 数学发展所依赖的思想在本质上有三个 ：抽象、推理、模型 具体内容中所蕴含的思想：数形结合、 函数、方程、分类、转化等 抽 象 抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质 性的特征，而舍弃其非本质的特征。 例如苹果、香蕉、梨、葡萄、桃子等，它们 共同的特性就是水果。得出水果概念的过程 ，就是一个抽象的过程。 又如5支铅笔、5根跳绳、5块蛋糕、5件衣服 等，它们的数量都是5个，可以用数字5来表 示数量，这个过程也是一个抽象的过程。 抽 象 要抽象，就必须进行比较，没有比较就无法 找到在本质上共同的部分。共同特征是指那 些能把一类事物与他类事物区分开来的特征 ，这些具有区分作用的特征又称本质特征。 因此抽取事物的共同特征就是抽取事物的本 质特征，舍弃非本质的特征。 抽象的东西脱离了具体内容的形式和内容， 也正因为如此，数学才可能具有广泛的应用 性。 1.生活中的数量数字母方程函数等 2.生活中的“原型”运算 3.实物几何模型图形文字符号 推理由一个或几个已知的判断（前提 ），推导出一个未知的结论的思维过程。 推理是形式逻辑，是研究人们思维形式及 其规律和一些简单的逻辑方法的科学。其 作用是从已知的知识得到未知的知识，特 别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的 未知知识。 推理一般包括合情推理和演绎推理。 合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和 直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。 演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理 、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻 辑和运算）结论。 在解决问题的过程中，合情推理有助于探索 解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明 结论的正确性。 数学模型就是为了某种目的，用字母 、数字及其它数学符号建立起来的等式或 不等式以及图表、图象、框图等描述客观 事物的特征及其内在联系的数学结构表达 式。 建立和求解模型的过程包括：从现实生 活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符 号建立方程、不等式、函数等表示数学问题 中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨 论结果的意义。 抽象（包括数感、符号意识等）、推理（包 括运算能力、几何推理等）、模型（包括方 程思想、函数思想等） 数形结合（几何直观）、函数、转化、分类 图形变换、度量、数据分析等。 教学 实例 比较就是把事物的个别属性加以分析 、综合,而后确定它们之间的同异,从而得 出一定规律的数学思想方法。在小学数学 教学中,培养小学生的比较思想方法显得格 外重要。 教学 实例 人教版小学数学 五年级上册 “商的近似数” 教学 实例 一、在复习导入时比较，唤起学生心中已有知 识的记忆。 回顾四舍五 入取近似数 的方法，为 今天的新课 打好基础。 精确度不同，取近似 数时是不能化简。 教学 实例 二、在探索新知时比较，夯实学生数学学习能 力的基础。 三次比较 ： 第一次比较 19.512=1.625（元 ） 19.5121.63（元 ） 教学 实例 二、在探索新知时比较，夯实学生数学学习能 力的基础。 三次比较 ： 第二次比较 教学 实例 二、在探索新知时比较，夯实学生数学学习能 力的基础。 三次比较 ： 第三次比较 教学 实例 三、在质疑问难时比较，引导学生解决问题方 法的择优。 大部分学生 ： 个别学生： 教学 实例 三、在质疑问难时比较，引导学生解决问题方 法的择优。 除到要保留的那一位，把余数和除数相比较，若余数比除 数的一半小，就说明求出下一位商直接舍去，若余数等于或大 于除数的一半，就说明求出下一位商直接进一。 教学 实例 四、在回顾反思时比较，促进学生自我知识体 系的建构。 教学 实例 人教版小学数学 一年级下册 “百以内数的认识 ” “解决问题” 教学 实例 运用不同的方法解决问题，体会方法的多样性。 教学 实例 具体 问题 具体 分析 教学 实例 具体问题具体分析 教学 实例 具体问题具体分析 教学 实例 后续类似的解决问题，孩子们的方法多样，掌握较好。 教学 实例 在期末考试中，我们出了一道“进一”的解决问题， 孩子们的方法多样，解决的较好。 计算法 箭头法 列表法 画图法 画图法 类比思想是指依据两类数学对象的相似 性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁 移到另一类数学对象上去的思想。类比思想 不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记 忆变得顺水推舟的自然和简洁。 类比的例子（什么是相同的，什么是不同的）： 平面到立体的类比 探索图形性质的方法 面积到体积 长方体到圆柱、圆锥体积的类比 整数运算律到分数（小数）的类比 教学 实例 人教版小学数学 四年级下册 “运算定律和简便运算” 教学 实例 学生举例 。 教学 实例 乘 法 除 法 减 法 研究报告 教学 实例 人教版小学数学 四年级下册 “长方体和正方体” 教学 实例 （11+18+18）2=34 （41+21+24）2=28 （22+22+22）2=24 体积相等，长宽高越 接近的表面积最小。 教学 实例 （1+12）2=26 （2+6）2=16 （3+4）2=14 周长相等，长宽越接近的面 积最小。 面积是12的长方形，你 可以画出哪些？谁的周 长最小？（长宽取整厘 米数） 把未知问题抓转化为已知问题，把复 杂问题转化为简单问题，把非常规问题转 化为常规问题，从而使问题得到解决的数 学思想。 转化思想的具体体现 ： （1）数的转化。 整数、分数、小数、百分数之间的转化 分数中的转化（通分、约分、假分数化 带分数） 数的分与合,以及数的改写 转化思想的具体体现 ： （2）式的转化。 2525 （48）25425825 （3）量的转化。 0.3米30厘米 下午2时可以写成14时 （4）形的转化。 （5）数量关系的转化。 甲数的2/3等于乙数的1/2，乙数是甲数的几分之几？ 教学 实例 人教版小学数学 五年级上册 “多边形的面积” 教学 实例 在教学平行四边形、三角形、梯形面积公式时， 想使学生体会多边形面积公式与几何图形是一一对应 的，用运动的观点学习几何。一方面，看到几何图形 ，想到面积公式；另一方面，由公式的变形，想到图 形的变化。在数形转换中通过割补等方法建立图形的 转化，感受数形结合的数学思想。通过数与形的结合 ，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次的思考问 题，可以养成多向性思维的好习惯。 教学 实例 每个变形的公式，都对应着三角形图形的变化。引导学生 沟通数与形之间关系，数形结合，以数思形，把握数学本质。 教学 实例 每个变形的公式，都对应着三角形图形的变化。引导学生 沟通数与形之间关系，数形结合，以数思形，把握数学本质。 教学 实例 每个变形的公式，都对应着三角形图形的变化。引导学生 沟通数与形之间关系，数形结合，以数思形，把握数学本质。 教学 实例 又如：梯形面积公式的推导。 每个变形的公式，都对应着梯形图形的变化。引导学生沟 通数与形之间关系，数形结合，以数思形，把握数学本质。 教学 实例 又如：梯形面积公式的推导。 每个变形的公式，都对应着梯形图形的变化。引导学生沟 通数与形之间关系，数形结合，以数思形，把握数学本质。 教学 实例 又如：梯形面积公式的推导。 每个变形的公式，都对应着梯形图形的变化。引导学生沟 通数与形之间关系，数形结合，以数思形，把握数学本质。 教学 实例 又如：梯形面积公式的推导。 每个变形的公式，都对应着梯形图形的变化。引导学生沟 通数与形之间关系，数形结合，以数思形，把握数学本质。 所谓数学模型思想是指对于现实世界的某 一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分 运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括 等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中 实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法 。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物 或数学问题乃数学的最高境界，也是提高学生 数学素养所追求的目标。 教学 实例 人教版小学数学 六年级下册 “数学思考” 教学 实例 回顾 解决问题 的过程， 初步感受 化繁为简 方法的好 处。 教学 实例 出示 问题情境 ，寻找解 决问题的 方法。 教学 实例 独立 思考，经 历化繁为 简的全过 程，渗透 模型思想 。 教学 实例 独立 思考，经 历化繁为 简的全过 程，概括 规律。 教学 实例 运用 规律解决 问题，渗 透模型思 想。 教学 实例 人教版小学数学 一年级上册 “10以内加减法” “20以内加法” 教学 实例 学生的表现永远超出我的想象。 10以内加减法 教师引导发现规律 20以内进位加法 学生尝试创造规律 教学 实例 学生的表现永远超出我的想象。 教学 实例 学生的表现永远超出我的想象。 教学 实例 学生的表现永远超出我的想象。 教学 实例 学生的表现永远超出我的想象。 教学 实例 学生的表现永远超出我的想象。 教学 实例 学生的表现永远超出我的想象。 教师引导学生举例口算。 学生小组合作创造规律。 以一组学生作品为准研究规律。 欣赏其他小组学生创造的规律。 20 以 内 加 减 法 计 算 教 学 复 习 课 四基：基础知识、 基本技能、 基本思想、 基本活动经验 数学课程目标 思考的问题 n是不是有数学活动经验？ n数学活动经验是结果还是过程？（静态与 动态） n数学活动经验与知识、思想的关系 （1）核心是经验，经验是伴随着推理的。 （“一盎司经验胜过一吨理论”） （2）经验、知识、思想并存。 （3）经验、知识和思想理性层次越来越高 。 思考的问题 n每个人的经验的差异，与什么有关 n日常生活经验、社会生活经验、数学活动经 验（比如倍这个概念，学生几乎没有生活经 验，似乎需要靠数学活动经验，比如数数、 分物） n活动经验的积累过程经历、内化、提炼 、迁移 数数活动 分物活动 图形分类活动 拼图活动 数学活动的重要性 抽象与表示活动 数学推理活动 数学联系的活动 数学应用的活动 直观化活动 人教版小学数学 五年级上册 “2的倍数特征” 学生举例验证 ： 102=5 个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数 。 这个例子能够说明2的倍数特征吗？ 102=5 122=6 142=7 162=8 182=9 个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 这些例子能够说明2的倍数特征吗？ 102=5 122=6 142=7 162=8 182=9 112=51 132=61 152=71 172=81 192=91 只有个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 学生举例验证： 正例 反例 结论 1 2 1 3 = 1 2 1 3 1 3 1 4 = 1 3 1 4 1 4 1 5 = 1 4 1 5 1 10 1 11 = 1 10 1 11 探索规律 1 6 1 7 + 1 7 1 8 + 1 8 1 9 + 1 9 1 10 = 1 6 1 7 + 1 7 1 8 + 1 8 1 9 + 1 9 1 10 1 6 1 10 = 1 15 = 探索规律 1 6 1 8 + 1 8 1 10 + 1 10 1 12 + 1 12 1 14 ？ 探索规律 用火柴棒按下图的方式搭三角形 （1）填写下表： 三角形的个数 1234 火柴棒的根数 3579 （2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的 三角形需要多少根火柴棒？ 2n+1 桌子张数1234n 可坐人数 610 14 184n+2 探索规律的一般步骤： 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律 具 体 问 题 观 察 特 例 成立 不成立 头 回新 重索 探 人教版小学数学 五年级下册 “容积和容积单位” 分析学生 学生已经拥有了一定的生活经验， 以及学习了体积和体积单位的知识，而 且也初步具备了一些数学学习的方法， 能够通过已有的知识经验去发现、探索 新的知识，具备了一定的迁移能力和归 纳概括能力。 容积和容积单位 分析学生 但是学生毕竟年龄还比较小， 空间想象能力还有限，尤其是对液 体这种没有固定形态物体的多少的 估计能力还不足，对于ml和L的实 际意义缺乏正确的理解。 容积和容积单位 活动一： 感受1毫升 通过直观感受1ml的多少，建立1ml的正确概念。 三次活动 容积和容积单位 理解毫升意义 活动二： 感受几毫升 生活中小药瓶中的药液大约 10ml 。 生活中养乐多中的饮料大约 100ml。 100ml水在笔筒中液面到哪儿？ 结合生活实际感受10ml、100ml的多少，建立10ml、100ml的 正确概念。 三次活动 容积和容积单位 理解毫升意义 活动三： 感受500毫升 500ml水在笔筒中装的下吗？ 生活中矿泉水瓶中的水大约 500ml。 借助100ml来想象500ml的多少，并且与生活实际相联系，培 养学生的空间观念。 三次活动 容积和容积单位 理解毫升意义 活动一： 借助学生生活经验，在