高等数学第九章重积分第三节三重积分.ppt

v 三重积分的概念 第九章 重积分 第三节 上页 下页 返回 结束 三重积分 v 三重积分计算 直角坐标情形 柱面坐标情形 球面坐标情形 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均 匀物质,求含在 内物质 可得 “分割, 作近似和, 求极限” 解决方法: 的质量 M . 体密度函数为 上页 下页 返回 结束 定义. 设 存在, 为体积元素, 任意分割 为: 任取点 则称此极限为函数在上的三重积分. 在直角坐标系下 三重积分具有与二重积分类似的性质.性质: 例如 如果 中值定理.在有界闭域 上连续, 则存在使得 V 为 的体积, 记作 上页 下页 返回 结束 称 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法3 . 截面法 (“先二后一”) 方法2 . 三次积分法 上页 下页 返回 结束 方法1. 投影法 记作 上页 下页 返回 结束 将积分区域向 xOy 坐标面投影, 则 得平面区域D, 于是 (“先一后二” ) . . 由投影法(“先一后二” ) 方法2. 三次积分法 设平面区域 把二重积分化成二次积分, 得三次积分 上页 下页 返回 结束 其中 为三张 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解一 坐标面与平面 上页 下页 返回 结束 (x, y) D : D 解二 上页 下页 返回 结束 投影区域 因此 例2. 设计算 解 先一后二, 再利用定积分关于积分区间 的对称性和被积函数的奇偶性,得 原式 = 奇函数 上页 下页 返回 结束 另解 因为积分区域关于xOy坐标面对称, 且被 积函数关于z为奇函数, 因此, 原式= 0. 方法3. 截面法 记作 上页 下页 返回 结束 先确定积分区域中z 坐标的 变化范围, 则 再作截面, 得 (“先二后一”) 例3. 计算三重积分 解 用“先二后一 ” 上页 下页 返回 结束 小结: 直角坐标情形三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法3. “先二后一” 方法2. “三次积分” 具体计算时应根据被积函数以三种方法各有特点, 及积分区域的特点灵活选择. 上页 下页 返回 结束 2. 利用柱面坐标计算三重积分 为点M 的柱面坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 上页 下页 返回 结束 称 在柱面坐标系中体积元素为 因此 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量能被分离. 上页 下页 返回 结束 其中例4. 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 及平面为由柱面 所围成的右半圆柱体. 上页 下页 返回 结束 例5. 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中由抛物面 原式 = 上页 下页 返回 结束 解 的交线为 z = 1平面上的圆 关于柱面坐标系，两曲面 得 上页 下页 返回 结束 3. 利用球面坐标计算三重积分 称为点M 的球面坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量能互相分离. 上页 下页 返回 结束 例7. 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体. 其中 与球面 上页 下页 返回 结束 例8. 求曲面所围立体体积. 解 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部, 利用对称性, 所求立体体积为 yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为 且关于 xOz 上页 下页 返回 结束 1. 将用三次积分表示,其中由 所 提示: 思考与练习 六个平面 围成 , 上页 下页 返回 结束 2. 设由锥面和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用面球坐标 上页 下页