七级数学思维探究图形生长的奥秘（含答案）.docx

陈景润（），福建省福州市人，年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究世纪年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，年月证明了命题“”，将多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”27图形生长的奥秘解读课标从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是：（1）分析图形生长的方式、规律；（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想问题解决例1 （1）观察图至图中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则_（用含的代数式表示）（2）观察下列图形： 根据图的规律，图中的三角形的个数为_试一试 对于（2），从寻找第个图与第个图三角形个数的关系入手例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（ ）A B C D（2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第、个图案所示规律依次下去：则第个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）A， B， C， D，试一试 略例3 操作：（1）如图，先画一个等边三角形，每边长为；（2）如图，在图中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；（3）如图，在的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形探究：图的周长是多少？试一试 每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本例的突破口例4 有一堆砖堆放如图，第层有块，第层有块，第层有块，如此继续下去，第层有多少块？第层有多少块？这样共层的砖堆总共有多少块砖？试一试 从第层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第个图案需根火柴，第个图案需根火柴，依此规律，第个图案需多少根火柴？分析 当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手为使图形结构清晰，可适当改变图形解 将图中各个图案右下角的一个正方形移除根火柴后得如下图：图中第个图案需要横向火柴（根），纵向火柴（根），共需根火柴；第个图案需要横向火柴（根），纵向火柴（根），共需根火柴；第个图案需要横向火柴（根），纵向火柴（根），共需根火柴；第个图案需要横向火柴的根数是，纵向火柴的根数也是，共需根火柴故拼搭图中第个图案需火柴（根）图案设计例6 如图是一个由个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的数学冲浪知识技能广场1观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有_枚五角星2下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有个五角星，第个图形一共有个五角星，第个图形一共有个五角星，则第个图形中五角星的个数为_3如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要根小棒，图案（2）需要根小棒，按此规律摆下去，第个图案需要小棒_根（用含有的代数式表示）4用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为_（用含的代数式表示）5下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“”的个数为_6如图是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面如果铺成一个的正方形图案（如图），其中完整的圆共有个，如果铺成一个的正方形图案（如图），其中完整的圆共有个，如果铺成一个的正方形图案（如图），其中完整的圆共有个若这样铺成一个的正方形图案，则其中完整的圆共有_个7观察下表，填表格后再解决问题：序号图形的个数的个数（1）完成上表；（2）试求第几个图形中的“”的个数与“”的个数相等8已知一个面积为的等边三角形，现将其各边（为大于的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，如图所示，当时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？（用含的式子表示）9某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺块，如图；第二次把第一次铺的完全围起来，如图；第三次把第二次铺的完全围起来，如图；依此方法，第次铺完后，用字母表示第次镶嵌所使用的木块数为_10如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第行的实心圆点的个数等于_11在图中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图；对图中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图；如此继续，如果图的等边三角形面积为，则第个图形中所有阴影三角形面积的和为_12如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，依此类推，由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（1）求的值；（2）当的结果是时，求的值为_13用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为，定义为第一组；在它的周围铺上块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，按这种方式铺下去，用现有的块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块瓷砖？应用探究乐园14在下图中，每个正方形由边长为的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长（奇数）黑色小正方形个数正方形边长（偶数）黑色小正方形个数（2）在边长为的正方形中，设黑色小正方形的个数为，白色小正方形的个数为，问是否存在偶数，使？若存在，请写出的值；若不存在，请说明理由15将棱长为的正方体按如图方式放置，求第个几何体的表面积27图形生长的奥秘问题解决例1（1）（2） 图有个，图有个，图有个，图有个例2（1）C ；（2）D例3 图中每个小等边三角形的边长为，图周长为例4 第层有块，第层有块，这样的层砖堆共有（块）数学冲浪1 2 3 45（个） 6（个）7（1）略；（2）由，得或（舍去）8时，共向外作了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为，这些小等边三角形的面积为910 各行的实心圆点数组成斐波那契数列1112（1），；（2）13铺满组时，所用瓷砖总数为当时，当时，故最多能完整地铺满组，还剩（块）瓷砖14（1）略；（2）为偶数时，由题意得，或（舍去）故存在偶数，使得15由图呈现的规律知，第个几何体有层，从上往下