复变函数(第四版)课件章节(2).ppt

4.4洛朗级数 1、双边幂级数 2、解析函数的洛朗展式 3、 洛朗级数与泰勒级数的关系 4、 将函数展成洛朗展式 5、 典型例题 1、双边幂级数 定义 称级数 （4.4.1） 为为复常数，称为为双边幂级边幂级 数（4.4.1）的系数 为双边幂级数，其中 负幂项部分 非负蜜幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 收敛 f1(z)f2(z) f(z) 收敛半径 收敛域 收敛 半径 收敛域 两收敛域无公共部分, 两收敛域有公 共部分H: R1 a a R a r H f(z)=f1(z)+ f2(z 定理一 (洛朗定理) 在圆环H:r|z-a|R, (r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边 幂级数 其 中 (4.4.3) (4.4.2) 2 解析函数的洛朗展式 a H a 证 (如图1)对zH,总可以找到含于H内 的两个圆周 使得z含在圆环 z 图1 内，因为f(z)在圆环 上解析, 由柯西积分公式有 或写成 (4.4.4) 我们将上式中的两个积分表为含有z-a的 (正或负)幂次的级数. 对于第一个积分,与泰勒定理证明中的相 应部分相同,就得 (4.4.5) (4.4.6) 类似地,对(4.4.4)的第二个积分 我们有 于是上式可以展成一致收敛的级数 沿1逐项求积分,两端同乘以 (4.4.7) (4.4.8 ) 由(4.4.4),(4.4.5),(4.4.7)即得 回过头来考察系数(4.4.6)及(4.4.8),由复围线的 柯西积分定理,对任意圆周 有 于是系数可统一表成(4.4.3). 因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H 内(4.4.2)成立. 上一致收敛.乘以上的有界函数: 最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内 又可展成下式: 由定理知,它在圆周 故可逐项积分，得：仍然一致收敛 利用重要积分公式，得： 定义2. (4.4.2)称为f(z)在点a的罗朗展式, (4.4.3)称为其系数,而(4.4.2)右边的级数则称为 罗朗级数. 3、洛朗级数与泰勒级数的关系 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形. 例1 判断 在下列区域内 能展成什么幂级数 4.将函数展称洛朗级数 常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点: 计算往往很麻烦. 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 . 2. 间接展开法 5、 典型例题 例1 解由定理知: 其中 故由柯西古萨基本定理知: 由高阶导数公式知: 另解 本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点, 例2 内是处处解析的, 试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数. 解 ox y 1 12 ox y 由 且仍有 2 ox y 由 此时 仍有 注意: 奇点但却不是函数的奇点 . 本例中圆环域的中心是各负幂项的 说明: 1. 函数在以为中心的圆环域内的洛朗级 数中尽管含有的负幂项, 而且又是这些 项的奇点, 但是可能是函数的奇点,也可能 的奇点.不是 2. 给定了函数与复平面内的一点以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式 (包括泰勒展开式作为它的特例). 回答：不矛盾 . 朗展开式是唯一的) 问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾? (唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛 解 例3 例4 解 例5 求下列各积分的值 ： 解：（1） 内的洛朗展式为 由此可见 内的洛朗展式为 由此可见 小结与