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文档简介

(ii ) 在复平面上除z = a外处处发散; a 将收敛部分染成红色， 将发散部分染成蓝色， 红色、蓝色不会交错 A 幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散， 在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。 收敛圆 收敛圆周 收敛半径 ? (根值法) (比值法) 4. 收敛半径的求法 q 分析运算 定理4 -幂级数的逐项求导运算 -幂级数的逐项积分运算 5. 幂级数的运算和性质 q 代数运算 -幂级数的加、减运算 -幂级数的乘法运算 注： 幂级数在收敛圆内绝对收敛 满足加法的结合律、交换律及分配律 -幂级数的代换(复合)运算 A 幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用. 例3 分析： 代换 解 代换 展开 还原 3 解析函数的泰勒展式 通过对幂级数的学习，我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解 析函数。 现在我们来研究与此相反的问题，就是： 任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用 价值. Taylor定理：设f (z) 在区域D内解析，aD，只要圆K: z - a R含于D，则 f (z) 在K内能展为幂（Taylor）级数， a R 且展示是惟一的. z r 证明思路： 据柯西积分公式 ? 将函数展开成泰勒级数的方法 例1：求 f (z) = 1 / (1 - z) 在 z = i 处的Taylor展开。 解： 例2：将f ( z ) = e z在z = 0展为Taylor级数。 解： ,| z | + 根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法， 即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、 逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数， 基本展开公式如下： 例3：将cosz和sinz以z=0为中心展为Taylor级数。 解： |z| + 注意：代数运算 交换律与结合律 级数的绝对收敛 |z| + 逐项求导 逐项求导法 1 代换 解： 逐项积分法 解： 代数运算,代换 交换律与结合律 级数的绝对收敛 绝对收敛级数的乘法（柯西乘积） 解： 将上面两式直接相乘即可。 解：利用 参照多项式的除法 解 ： 化成微分方程法 于是 对上逐次求导有 令 则依次可得到 据直接法进而得到此函数的在0点的幂级数展开式 （即麦克劳林级数） 解：先计算展开系数 例将f ( z ) = （1 + z) m在 z = 0展为Taylor级数。 易求其收敛半径为1，故 式中 在许
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