大学物理——第3章-角动量定理和刚体的转动.ppt

第三章 角动量定理和刚体的转动 1 3-2、3-3 刚体定轴转动的转动定理和动能定理 描述刚体定轴转动的运动学方法 大小和形状始终保持不变的物体称为刚体。(特殊的质点组) 由于刚体大小形状不变，转轴是固定的，那么刚体上任一点 A的位置确定，其他各点位置也就都确定，从而整个刚体的 位置确定，并且刚体上各点在相同的时间间隔内应转过相同 的角度，因此，刚体各点有相同的角位移，角速度和角加速 度，可见，描述刚体定轴转动只需一个坐标变量 。 刚体的运动形式：平动、转动。 2 描述刚体的物理量 任一质点圆周运动的线量和角量的关系 3 :力臂 刚体绕Oz 轴旋转，力 作用在刚体上点 P ，且在转动平面内， 为由点O到力的 作用点P 的径矢。 对转轴Z 的力矩 力矩 P * O 刚体定轴转动的动能定理 M 的正负与角位移的正负规定一致，由转轴Oz正向俯视，力 矩有使刚体逆时针转动趋势时， M 取正；反之取负。 4 刚体中内力的功等于零 刚体是质点组，应服从质点组的动能定理： 刚体转动过程中形状不变，组成刚体的全部质 点之间不发生相对位移。根据 得到刚体运动过程中，内力不作功， 5 力矩的功 力 作用于A点，刚体绕轴转过一 微小角位移 ， A点位移是 ， 力所作元功为： 由图易得： 故： 6 转动动能 把刚体想象地分割成 N 个质点，第 i 个质点的动能是： 质点质量圆周运动的速率和半径 整个刚体的动能： 刚体对转轴的转动惯量： 7 刚体定轴转动动能公式物体的平动动能(质点动能) 对比 角速度 转动惯量质量 速率 物体绕轴的转动惯性物体的平动惯性 8 转动动能定理 刚体定轴转动动能定理： 设初态角位置 时，角速度是 末态角位置 时，角速度是 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作 的功等于刚体转动动能的增量。 9 转动惯量 刚体定轴转动的转动定理 (1) 质量离散分布刚体的转动惯量 (2) 质量连续分布刚体的转动惯量 质量元 F对质量线分布的刚体： F对质量面分布的刚体： F对质量体分布的刚体： ：质量线密度 ：质量面密度 ：质量体密度 10 转动惯量的大小取决于刚体的质量、质量分布及转轴的位置。 单位： 平行轴垂直轴 11 F 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任 一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量： 刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。 F 垂直轴定理 一个平面薄板刚体对垂直于平面的任一转轴的转动惯量,等于刚 体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动惯量之和。 仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度0 12 转动定理 刚体转动状态的变化表现为角速度 的变化，即角加速 度 不为零。 根 据： 要使 ，即获得角加速度 ，必须对刚体施以力矩M。 若刚体不受外力矩作用，则 ，角加速度为零，刚体将 保持原来的转动状态不变(继续静止或匀速转动)，这表明刚体 有保持它原来转动状态不变的特性，即刚体的转动惯性。 有何联系？ 13 定轴转动定律在转动问题中的地 位相当于平动时的牛顿第二定律 应用转动定理解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。 实验指出，定轴转动的刚体的角加速度 与刚体所受的合外 力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量 I 成反比。 定轴转动定理 14 例3-1 如图，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为 m1 和 m2 的物体， m1 m2 ，滑轮可视为均质圆盘， 质量为 m ，半径为 r ，绳不可伸长且与滑轮之间无相对滑动， 求物体的加速度，滑轮的加速度和绳中张力。 解：由于滑轮质量不可忽略，必须考虑滑轮绕 定轴的转动，各物体受力情况如图： 15 对两物体应用牛顿第二定律， 对滑轮应用转动定理，可得： 其中： 16 例3-2 如图，半径为 R 的均匀球壳 A 可绕光滑竖直轴旋转，滑轮 B 可绕光滑水平轴旋转，用轻绳将球壳、滑轮和物块 C 如图联结 ，轻绳绕在球壳的水平大圆上，当物块下落时将牵动滑轮、球壳 绕各自的轴旋转，设球壳、滑轮、物块的质量分别为 mA = m1 , mB = mC = m2 ；球壳、滑轮对转轴的转动惯量分别为 IA 和 IB，滑 轮半径为 r，运动过程中绳不伸长、不打滑，求物体下落 h 高时 ，速率为多少？ 17 解：(法一) A、B两物体作定轴转动，应用转动定理分析；C平 动可视为质点，应用牛顿运动定律分析。三者受力分析如图。 A、B定轴转动，由转动定理C 平动，由牛顿第二定律 轻绳 18 A、B定轴转动，由转动定理C平动，由牛顿第二定律 轻绳 绳不伸长、不打滑，有角量与线量的关系： 常量 19 (法二)整个运动过程中只有重力作功 ，系统机械能守恒。 C 下降 h 动能增加 势能减少 A、B势能不变 动能增加 20 机械能守恒 可利用此装置及分析方法反过来测球壳或位于球壳处的 其它不规则形状刚体的转动惯量。 21 例3-3 如图，均质圆形薄板放在水平桌面上，板的半径为R， 板与桌面间的滑动摩擦系数为 ，令圆板以角速度 开始绕 通过板心且与板面垂直的光滑固定轴O旋转，问圆板转动多 少周后停止？（圆板转动惯量 ） 22 解：先求摩擦力矩 摩擦力矩：注意圆板与桌面间摩擦力分布在全部水平接触面上 ，与转轴等距的细圆环上各点摩擦力对轴的力臂相等；细圆环 半径不同，摩擦力对轴的力臂不同，用积分计算总力矩。 取半径为 r ，宽为 dr 的细圆环作质 元，设圆板高 h ，圆板体密度为 细圆环与桌面的摩擦力 摩擦力矩 23 体密度 由转动定理 (法一)：用转动定理和运动学公式求解 24 常量 匀变速运动学公式 圈 数： 25 (法二)：用动能定理求解 圈 数： 已求得： 26 用定轴转动的动能定理较之用转动定律求解， 省去了求角加速度，而直接求得，更为简捷。 质点动力学 先判断运动过程中有无守恒量，有守恒量时优先 用相关守恒定律求解，无守恒量时，求速度位移 优先考虑动能定理或优先考虑动量定理，只有非 求加速度不可时，才用牛顿第二定律求解。 刚体转动优先考查动量、角动量、机械能是否守恒，能否 用相关守恒定律求解，其次考虑能否用定轴转动 的角动量定理或定轴转动的动能定理求解，非求 加速度不可时，才用定轴转动的转动定理求解。 讨 论 27 3-1、3-4 角动量定理和角动量守恒定律 角动量（又称动量矩） 右手螺旋法则判定方向始终向上。方 向： 大 小： 质量为 m 的质点在水平面上作匀速圆 周运动，不同位置上动量 的方向 不同，动量不守恒。 质点的角动量 L0 守恒 28 单位：或 则质点在该位置相对定点的角动量定义为： 一般情况，如图 29 刚体对转轴的角动量 所有质元对该轴角动量的总和。 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动 质元角动量 总的角动量 刚体对转轴的角动量 30 刚体定轴转动时的角动量定理 微分形式 积分形式 合外力矩对时间的积累 合外力矩角动量的时间变化率 冲量矩角动量的增量 31 角动量守恒定律 若：则： 若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质 点系相对于该定点的角动量将始终保持不变。 注意：这里不仅限于讨论一个刚体绕定轴转动的情况，而 是一个绕固定轴转动的转动系统。 32 3. 在冲击等问题中，常量 1. 守恒条件 若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变 2. 内力矩不改变系统的角动量 4. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律 讨 论 33 用外力矩启 动转盘后撤 除外力矩 角动量守恒的现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则 变小。 张臂 大 小 收臂 小 大 34 花 样 滑 冰 先使自己 转动起来 张臂 大 小 收臂 小 大 角动量守恒的现象 35 动量定理 力矩 动量矩或角动量 冲量矩 力 动量 力的冲量 角动量定理 36 例3-4 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面 垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时，有一 只小虫以速率 垂直落在距点O为l/4处, 并背离点O向细杆的 端点A 爬行。设小虫与细杆的质量均为m。问：欲使细杆以恒 定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行？ 解: 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角 动量守恒。 角动量小虫细杆 碰前： 碰后： 37 由角动量定理 即 考虑到 38 例3-5 如图，杆OB可绕水平光滑轴O转动，杆长L，质量不计 ，杆的中点A和底端B处附有两个质量为m1和m2的小球，最初 杆静止于平衡位置，令一质量为m的粘性球以水平速度 冲击 ，恰能使杆转过 角达水平位置。设m与m1的碰撞为完全非 弹性的，m1=4m，m2=m，L=1m，取 g =10m/s2，求 ？ 39 分析：碰撞过程中系统动量是否守恒 ，角动量是否守恒？碰撞之后一起运 动的过程，系统机械能是否守恒？ 解：取杆及m组成的系统为研究对象，碰撞过程中，轴对系 统有很大的反作用力，不能忽略，因此动量不守恒。 碰撞时间极短，碰撞时系统各物体的位置可认为都处于过O的 竖线上，此时外力(重力及反作用力)对轴力矩为零。因此