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20081223 7.7 定积分之几何应用 面积体积 回顾曲边梯形求面积的问题 一、元素法 a b x y o 提示 面积元素 相应的方法通常叫做元素法. 元素法的一般步骤： 应用方向： 面积；体积；曲线的弧长； 元素法的实质仍是“和式”的极限. 功；水压力；引力和平均值等 二、几何应用 A、直角坐标系情形 曲边梯形的面积平面图形的面积 解两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 解两曲线的交点 选 为积分变量 于是所求面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式 问题： 解两曲线的交点 选 为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 B、参数方程情形 解椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 面积元素 曲边扇形的面积 C、极坐标系情形 解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 解 利用对称性知 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴 圆柱圆锥圆台 A、旋转体的体积 x y o 旋转体的体积为 解直线 方程为 解 解 补充 利用这个公式，可知上例中 解 体积元素为 B 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 解取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 解取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积. （注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算） 三、小结 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕 轴旋转一周 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 思考题1 思考题2 作业 (补充材料) 习题6-2 1; 2、 2), 3) ; 3; 4; 5; 6. 思考题1解答 x
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