大学物理第5章刚体的定轴转动.ppt

第5章 刚体的定轴转动 1 演示实验 1、茹科夫斯基 转椅（和车轮） 2、陀螺仪 3、质心运动（ 杠杆） 4、不同质量分 布的等质量柱体 滚动 5、车轮进动 一、刚体的定轴转动定律 二、转动刚体的角动量守恒 三、刚体转动的功和能 四、无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 五、进动 目 录 2 5.1 刚体的定轴转动定律 z O mi ri 外力矩沿z轴分量的代数和 刚体沿z轴的角动量 刚体对z轴的转动惯量 3 2、适用于转轴固定于惯性系中的情况。 3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速 度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和 为零） 1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点 的固定转轴投影得到。 4 转动 平面 外力对固定转轴力矩的计算： ：沿转轴方向 ：沿转轴反方向 转动平面内的分 力对转轴的力矩 5 计算转动惯量的几条规律： 1、对同一轴可叠加： 2、平行轴定理： 3、对薄平板刚体，有垂直轴定理： JcJ d m C 质心 ri x z yi xi mi y 2 4 1 mR 6 常用的转动惯量 直径 薄球壳： 直径 球体： 过中点垂直于杆 细杆： 过一端垂直于杆 圆柱体： 对称轴 7 例2：证明球体对任意直径的转动惯量 为： 证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作为质元， dz z R r o 8 例：一飞轮的转动惯量为J，在t=0时 的角速度为0，此后飞轮经历制动过 程，阻力矩M的大小与角速度的平方 成正比，比例系数为k，当=0/3时 ，飞轮的角加速度=？从开始制动到 =0/3所经历的时间t=? 解： 9 与一维质点动力学方法一致 10 【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到 角时的角加速度，角速度，转轴受力。 11 解：刚体定轴转动 1、受力分析 2、关于O轴列 转动定理 【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？ 12 由求 ： 13 （1） 平动：质心运动定理 3、求转轴受力 14 （2） 转动：关于质心轴列转动定理 为什么？ 15 【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力F作用，冲量 为Ft（t很短），冲力的作用点距棒的质心l 远，求冲力作用后棒的运动状态。 解 （1）质心的运动 质心以vC0的初速做上抛运动。 l F C 16 （2）在上抛过程中棒的转动 绕过质心转轴，列转动定理： l F C 在上抛过程中，棒以恒定角 速度绕过质心轴转动。 【演示实验】 质心运动（杠杆） 17 5.2 转动刚体的角动量守恒 1、绕定轴转动 2、几个刚体绕同一定轴转动 【演示实验】茹科夫斯基转椅(和车轮)、陀螺仪 3、关于过质心轴 若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角 动量可在这几部分间传递。 若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。 若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体 角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。 18 5.3 刚体转动的功和能 力矩的功： 不太大刚体的重力势能： 机械能守恒定律：只有保守力做功时 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功，等于它的转动动能的增加 19 用机械能守恒重解： 转轴光滑，初态静止，求下摆到角 时的角加速度，角速度。 20 解：杆机械能守恒 比用转动定律简单！ 势能零点 绕固定轴 转动动能 21 杆动能的另一种表达：科尼西定理 势能零点 质心动能绕过质心轴 转动动能 22 5.4 刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 1、平面平行运动 只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。 质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动 2、无滑动滚动： R C p 任意时刻接触点P 瞬时静止 无滑动滚动条件： 【思考】下一时刻P点位置？ 23 转动惯量小的滚得快！ 【演示实验】不同质量分布的等质量柱体滚动 质心运动定理 过质心轴转动定理 纯滚动条件（运动学条件） 【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？ mg f R C x y 24 3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴 C p A B D E F 时刻t 接触点P 瞬 时静止； 在时间(tt+t) 内，以P点为原点 建立平动坐标系； 时间(t t+t)内，刚体的运动（质心平动、 绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于 固定平面的转轴的无滑动滚动。 接触点P ：瞬时转轴瞬时转动中心 25 绕瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了 力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。 下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体， 接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此， 关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。 惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度 方向相反。 关于过p点转轴的转动惯量 轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理： 26 证明： p点相对惯性系的加速度 p点相对质心的加速度 R C p 按切、法向分解： 无滑动滚动： p点加速度沿半径方向 ap 过p点转轴惯性力矩等于零 27 【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？ 关于瞬转轴列转动定理重解： mg f R C p 简单多了！ 28 5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律 讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： 对点： 对轴： 刚体： 刚体定轴转动的角动量定理 29 刚体定轴转动的角动量守恒定律： 对刚体系， M外z = 0 时， ， 此时角动量可在系统内部各刚体间传递， 而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。 茹科夫斯基转椅(KL016) 陀螺仪（KL029） 转台车轮 (KL017) 演示 角动量守恒： 30 克服直升飞机机身反转的措施： 装置尾浆推动大 气产生克服机身 反转的力矩 装置反向转动的双 旋翼产生反向角动 量而相互抵消 TV 角动量守恒定律 (注3) 31 滑冰运动员的旋转猫的下落（A ） 猫的下落（B） 32 m (黏土块) y x h P O M 光滑轴 均质圆盘 （水平 ） R 例 如图示， 求：碰撞后的瞬刻盘 P 转到 x 轴时盘 解： m下落： (1) m P h v 对（m +盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略， (2) 已知：h，R，M=2m， =60 系统角动量守恒： 33 (3) 对（m + M +地球）系统， m mg O M R 令P、x 重合时 EP = 0，则： (5) 由(3)(4)(5)得： 由(1)(2)(3)得： (4) 只有重力作功，E守恒。 （m +盘）角动量 34 旋进： 5.6 旋进（进动，precession） 如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。 高速旋转的物体，其自转轴绕另一个 35 p2 p1 m2m1 r2 m1 r1 L2 L1 L O z 点的 不平行于 。 若质量对转轴分布对称， 下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称 对转轴不对称， 的刚体的旋进问题。 刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。 例如，图示的情形：质量 则： 则对轴上O 36 M dL mg O L 从而产生旋进运动。 玩具陀螺的旋进： 只改变方向而不改变大小， 37 d L O 旋进角速度： 演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2） 38 回转效应产生附加力矩： 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。 左转 dLM M dt =dL 附加力 附加力 轴承 附加力可能 造成轴承的损 坏，附加力矩 也可能造成翻 船事故。 M 左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。 L 39 地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴 的旋进，北天极方 向不断改变。 北极星 3000年前 小熊座 现在 小熊座 12000年后 天琴座 （织女） T = 25800年 C1 C2 F1 F2 太阳 赤道平面 黄道平面地球 北 天 极 地轴 L 地球自转角动量 （F1F2 ） M 地球自转轴旋进 40 地轴 旋进 旋进周期25800年 秋分点 春分点 西 分点每年在黄 道上西移50.2 太阳年（回归年） ： 太阳由春分秋分春分 恒星年（时间长） ： 地球绕太阳一周的时间 岁差 （precession） 岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒 北半球 南半球黄道面 赤道面 太阳 东 41 我国古代已发现了岁差： 每50年差1度（约72/年） 前汉（公元前206 23） 刘歆发现岁差。 晋朝（公元265 316 ） 虞喜最先确定了岁差： 将岁差引入历法：391年有144个闰月。 祖冲之（公元429 500）编大明历最先 （精确值为50.2/年） 42 当旋进发生后，总角速度 只有刚体高速自转时，才有 这时也才有 和以上 的表示式。 当考虑到 对 的贡献时， 自转轴在旋 进中还会出现微小的上下的周期性摆动， 运动叫章动（nutation）。 这种 43 1. 定轴转动的运动学问题 解法：利用定轴转动的运动学描述关系 2. 转动惯量的计算 解法：（1）定义法： 习题基本类型 O v 定 轴 P z r 44 （2）平行轴定理 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对 其转动惯量为J，则有 J = JC + m d 2。 3. 定轴转动的动力学问题 解法：利用定轴转动中的转动定律 步骤： （1）审题，确定研究对象； （2）建立坐标系； （3）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按 坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注： 受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将 F = ma 与 M = J 联系起来； （4）计算对轴的转动惯量； （5）解方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。 45 4. 定轴转动中的功能问题 解法：利用动能定理和机械能守恒定律 5. 角动量原理及角动量守恒定律 6. 混合题型 解法：应用运动学公式、转动定律和角动量守恒 定律。 46 5.1 一 汽车发动机的转速在7.0s 内由200rev/min均匀地增 加到3000rev/min。 （1）求这段时间内的初角速度、末角速度及角加速度； （2）求这段时间内转过的角度； （3）发动机轴上装有一半径为 r = 0.2m 的飞轮，求它边 缘上一点在这第7.0s 末的切向加速度、法向加速度和总加 速度。 （1）初角速度： 解：0 = 2200/60 = 20.9 (rad/s) 末角速度： = 23000/60 = 314 (rad/s) 角加速度为： （2）转过的角度为 47 总加速度为： 总加速度与速度（切向）之间的夹角 （3）切向加速度为 法向加速度为 48 由于转动惯量具有可加性，所以已 挖洞的圆板的转动惯量J 加上挖去的圆 板补回原位后对原中心的转动惯量J1就 等于整个完整圆板对中心的转动惯量J2 即 R O R/2 C 5.2 从一半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为 R 的圆 板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心 R/2 处，所剩薄 板的质量为m。求此薄板对于通过原中心而与板面垂直 的轴的转动惯量。 R O R/2 C 解： 设板质量密度为厚度为a，则 J = J2 - J1 49 由于 则 最后求得 R O R/2 C 50 5.3 如图，两物体质量为m1 、 m2 ，滑轮的质量为m， 半径为 r，可视作均匀圆盘。已知 m2与桌面间的滑动摩 擦系数为k ，求 m1下落的加速度和两段绳子中的张力 各为多少。设绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦 力忽略不计。 解： （绳在轮上不打滑） （向下为正） （向右为正） 线角量关系： 对m1 、 m2 、滑轮分别进 行受力分析，画出示力图 （顺时针为正） a a m2 m1 r T1 m1g f T2 T1 T2 方程组的解为： 5.4 如图，两个圆轮的半径分别为R1 和R2 , 质量分别为 M1 、M2 ，二者皆 可视作均匀圆柱体且同轴固结在一起 ，可绕一水平固定轴自由转动。今在 两轮上绕有细绳，绳端分别挂上质量 为 m1 和 m2 的两个物体。求在重力作 用下，m2下落时轮的角加速度。 解： （向上为正） （向下为正） 对m1 、 m2 、整个滑轮分别进行 受力分析，画出示力图 （顺时针为正） m1 m2 R2 R1 M1 M2 o a1 T1 m1g a2 T2 m2g T1 T2 53 线角量关系（绳在轮上不打滑）： 方程组的解为： 54 5.5 一根均匀米尺，在60cm刻度处钉到墙上，且可以 在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后 释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时 的角加速度。 解： 设米尺总质量为m，则直尺对悬 点的转动惯量为： 对米尺，手刚释放时，由转动定律： O mg C l1l2 55 C mg O mg C l1l2 在米尺转到竖直位置过程中，系统（尺+ 地球）机械能 守恒： 56 5.6 坐在转椅上的人手握哑铃。两臂伸直时，人、哑铃 和椅系统对竖直轴的转动惯量为J1=2kg m2。在外人推 动后，此系统开始以n1=15r/min转动，当人两臂收回时 ，使系统的转动惯量变为J2=0.80kgm2 ，它的转速n2是 多大？ 解： 两臂收回过程中，系统的机械能是否守恒？ 什么力做了功？做功多少？设轴上摩擦忽略不计。 由于两臂收回过程中，人体受的沿竖直轴的外力矩 为零，所以系统沿此轴的角动量守恒 两臂收回时，系统的内力（臂力）做了功，所以系统的 机械能不守恒。臂力做的总功为： 57 58 5.7 如图所示，均匀杆长 L= 0.40m ，质量M =1.0kg ，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静 止。今有一质量为 m = 8.0g 的子弹以速度= 200m/s 水平射入杆中而不复出，射入点在轴下 d = 3L/4 处。 （1）求子弹停在杆中时杆的角速度。 （2）求杆的最大偏转角。 解： L