[高二数学]2007年高考数学试题汇编.doc

2007 年高考数学试题汇编圆锥曲线（一） 1、（重庆文）已知以 F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点， 则椭圆的长轴长为（ C ） （A） （B） （C） （D） 【解答解答】设椭圆方程为消 x 得： 即： 又 联立解得 由焦点在 x 轴上，故长轴长为 2、（重庆文）（21）（本小题满分 12 分，（）小问 4 分，（）小问 8 分） 如题（21）图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。 题（21）图 （）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程； （）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定 值。 【解答解答】（）设抛物线的标准方程为，则，从而 因此焦点的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为。 从而所求准线 l 的方程为。 答（21）图 （）解法一：如图（21）图作 ACl，BDl，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记 A、B 的横坐标分别为 xxxz，则 |FA|AC|解得， 类似地有，解得。 记直线 m 与 AB 的交点为 E，则 所以 。 故。 解法二：设，直线 AB 的斜率为，则直线方程为。 将此式代入,得，故。 记直线 m 与 AB 的交点为，则 ， ， 故直线 m 的方程为. 令 y=0,得 P 的横坐标故 。 从而为定值。 3、（重庆理）过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为的直线，交双曲线于 PQ 两点，则 |FP|FQ|的值为_. 【分析分析】： 代入得： 设 又 4、（重庆理）(本小题满分 12 分)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），右准线 l 的方 程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明 为定值，并求此定值。 解：（I）设椭圆方程为 因焦点为，故半焦距 又右准线 的方程为，从而由已知 ， 因此， 故所求椭圆方程为 （II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性， 假设，且， 又设点在 上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 解得 因此 ， 而 ， 故为定值 5、（浙江文）已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是准线上一点， 且 P F1P F2，P F1 P F2 4ab，则双曲线的离心率是（B） (A) (B) (C)2 (D)3 【解答解答】：设准线与 x 轴交于 A 点. 在中, , 又 , 化简得 , 故选答案 B 【高考考点高考考点】双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识。 【易错点易错点】：不能联系三角形的有关知识，找不到解题方法而乱选。 【备考提示备考提示】：双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点，且方法较多，要善于总结各种方法， 灵活应用。 6、（浙江文）(本题 15 分)如图，直线 ykxb 与椭圆交于 A、B 两点，记AOB 的面 积为 S （I）求在 k0，0b1 的条件下，S 的最大值； （）当AB2，S1 时，求直线 AB 的方程 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和 综合解题能力 （）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得， 所以 当且仅当时，取到最大值 （）解：由得， ， 设到的距离为，则， 又因为，所以，代入式并整理，得 ，解得，代入式检验， 故直线的方程是 或或，或 【高考考点高考考点】椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等知识 【易错点易错点】：不能准确计算或轻易舍掉一些答案。 【备考提示备考提示】：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的 基本思想方法和综合解题能力故此类问题一方面要求考生能熟练掌握相关知识，并且能够有较高的分析 问题和解决问题的能力，同时还要有较强的运算能力和不懈的毅力。 7、（浙江理）已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点， 且，则双曲线的离心率是（ B ） 【分析分析】：设准线与 x 轴交于 A 点. 在中, , 又 , 化简得 , 故选答案 B 8、（天津文）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为（ D ） 【解析】抛物线的准线为,故有- 又双曲线的离心率为,故有:-, 得到,进而求出, 双曲线的方程为 2007 年高考数学试题汇编圆锥曲线（二） 9、（天津文）（本小题满分 14 分）设椭圆的左、右焦点分别为是 椭圆上的一点，原点到直线的距离为 （）证明； （）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于， 两点，则 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查 曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14 分 （）证法一：由题设及，不妨设点，其中 ，由于点在椭圆上，有， ， 解得，从而得到， 直线的方程为，整理得 由题设，原点到直线的距离为，即 ， 将代入原式并化简得，即 证法二：同证法一，得到点的坐标为， 过点作，垂足为，易知，故 由椭圆定义得，又，所以 ， 解得，而，得，即 （）解法一：圆上的任意点处的切线方程为 当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同 的点和，因此点，的坐标是方程组 的解当时，由式得 代入式，得，即 ， 于是， 若，则 所以，由，得在区间内此方程的解为 当时，必有，同理求得在区间内的解为 另一方面，当时，可推出，从而 综上所述，使得所述命题成立 10、（天津理）（本小题满分 14 分） 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点 到直线的距离为 （）证明； （）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂足为， 求点的轨迹方程 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14 分 （）证法一：由题设及，不妨设点，其中由于点 在椭圆上，有，即 解得，从而得到 直线的方程为，整理得 由题设，原点到直线的距离为，即， 将代入上式并化简得，即 证法二：同证法一，得到点的坐标为 过点作，垂足为，易知，故 由椭圆定义得，又， 所以， 解得，而，得，即 （）解法一：设点的坐标为 当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为 ，或，其中， 点的坐标满足方程组 将式代入式，得， 整理得， 于是， 由式得 由知将式和式代入得， 将代入上式，整理得 当时，直线的方程为，的坐标满足方程组 所以， 由知，即， 解得 这时，点的坐标仍满足 综上，点的轨迹方程为 解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为， 可知直线的方程为 记（显然），点的坐标满足方程组 由式得 由式得 将式代入式得 整理得， 于是 由式得 由式得 将式代入式得， 整理得， 于是 由知将式和式代入得， 将代入上式，得 所以，点的轨迹方程为 11、（四川文）如果双曲线1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离 是 (A) (B) (C) (D) 解析：选 A由点到双曲线右焦点的距离是 2 知在双曲线右支上又由双曲线的第二定 义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是 12、（四川文）已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 D.4 解析：选 C设直线的方程为，由， 进而可求出的中点，又由在直线上可求出， ，由弦长公式可求出本题考查直线与圆锥曲线的位置 关系自本题起运算量增大 13、（四川文）(本小题满分 12 分)设、分别是椭圆的左、右焦点 （）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标； （）设过定点的直线 与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点） ，求直线 的斜率的取值范围 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及 推理计算能力 （）易知， ，设则 ，又， 联立，解得， （）显然不满足题设条件可设 的方程为，设， 联立 ， 由 ，得 又为锐角， 又 综可知，的取值范围是 2007 年高考数学试题汇编圆锥曲线（三） 14、（四川理）（本小题满分 12 分）设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值; （）设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率的取值范围. 本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决 问题及推理计算能力。 解：（）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 （以下同解法一） （）显然直线不满足题设条件，可设直线， 联立，消去，整理得： 由得：或 又 又 ，即 故由、得或 15、（上海理）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶 点的抛物线方程为 【解析解析】双曲线的中心为 O（0,0），该双曲线的左焦点为 F（3,0）则抛物 线的顶点为（3,0），焦点为（0,0），所以 p=6，所以抛物线方程是) 16、（上海理）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称 为“果圆”，其中，是对应的焦点。 （1）若三角形是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若，求的取值范围； （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜 率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所 有的值；若不存在，说明理由。 解（1）F0（c，0）F1（0，），F2（0，） | F0F1 |，| F1F2 | 于是，所求“果圆”方程为 （x0），（x0） 4 分 （2）由题意，得ac2b，即 （2b）2b2c2，a2b2（2ba）2，得 7 分 又b2c2a2b2， （3）设“果圆”的方程为（x0）（x0） 记平行弦的斜率为k 当k0 时，直线yt（btb）与半椭圆（x0）的交点是 ，与半椭圆（x0）的交点是Q（） P、Q的中点M（x，y）满足 得 a2b， 综上所述，当k0 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆14 分 当k0 时，以k为斜率过B1 的直线l与半椭圆（x0）的交点是 由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一 椭圆上 17 分 当k0 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上 18 分 17、（上海文）我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的 曲线称作“果圆”，其中，如图，设点，是相应椭 圆的焦点，和，是“果圆” 与 ，轴的交点，是线段的中点 （1）若是边长为 1 的等边三角形，求该 “果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆 上任意一点求证：当取得最小值时， 在点或处； （3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标 解：（1） ， ， 于是， 所求“果圆”方程为， （2）设，则 ， ， 的最小值只能在或处取到 即当取得最小值时，在点或处 （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半 椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆 上的情形即可 当，即时，的最小值在时取到， 此时的横坐标是 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在 时取到，此时的横坐标是 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当 取得最小值时，点的横坐标是或 18、（陕西文）抛物线的准线方程是 （A） （B） （C） （D） 解析：P=，准线方程为 y=，即，选 B 19、（陕西文）已知双曲线C0,b0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐 近线相切的圆的半径是 （A）a (B)b (C) (D) 解析：圆的半径是（C，0）到渐近线的距离，所以 R=，选 B 20、（陕西文）(本小题满分 14 分)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短 轴一个端点到右焦点的距离为. ()求椭圆C的方程; ()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面 积的最大值. 解：（）设椭圆的半焦距为 ，依题意 ，所求椭圆方程为 （）设， （1）当轴时， （2）当与轴不垂直时， 设直线的方程为 由已知，得 把代入椭圆方程，整理得， ， 当且仅当，即时等号成立当时， 综上所述 当最大时，面积取最大值 21、（山东理）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的 一点，与轴正向的夹角为，则为 【分析分析】：过 A 作轴于 D，令，则，。 2007 年高考数学试题汇编圆锥曲线（四） 22、（山东理）（本小题满分 12 分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭 圆上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 （）求椭圆的标准方程； （）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标 【解答解答】(I)由题意设椭圆的标准方程为 ， (II)设，由得 ， ，. 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点， ， ， ，解得 ，且满足. 当时，直线过定点与已知矛盾； 当时，直线过定点 综上可知，直线 过定点，定点坐标为 23、（全国 2 理）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点， 使且，则双曲线的离心率为（ B ） A B C D 【解答解答】设 F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使 F1AF2=90?，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， ， 离心率，选 B。 24、（全国 2 理）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若 ，则（ ） A9 B6 C4 D3 【解答解答】设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若 =0 0，则 F 为ABC 的重心， A、B、C 三点的横坐标的和为 F 点横坐标的 3 倍， 即等于 3， |FA|+|FB|+|FC|=，选 B。 25、（全国 2 理）（本小题满分 12 分）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线 相切 （1）求圆的方程； （2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求 的取值范围 【解答解答】（1）依题设，圆的半径 等于原点到直线的距离， 即 得圆的方程为 （2）不妨设由即得 设，由成等比数列，得 ， 即 由于点在圆内，故 由此得 所以的取值范围为 26、（全国 2 文）已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ） A B C D 【解答解答】已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， ，椭圆的离心率，选 D。 27、（全国 2 文）设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上， 且，则（ ） A B C D 【解答解答】设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且 ，则=，选 B。 28、（全国 1 理）已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（ ） A B C D 【解答解答】已知双曲线的离心率为 2，焦点是，则c=4，a=2，双曲 线方程为，选 A。 29、（全国 1 理）抛物线的焦点为，准线为 ，经过且斜率为的直线与抛 物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积是（ ） A B C D 【解答解答】抛物线的焦点F(1，0)，准线为l：，经过F且斜率为的直线 与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3，2)，垂足为K(1，2 )， AKF的面积是 4，选 C。 30、（全国 1 理）（本小题满分 12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为， 过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足 为 （）设点的坐标为，证明：； （）求四边形的面积的最小值 【解答解答】（）证明：椭圆的半焦距， 由知点在以线段为直径的圆上，故， 所以， （）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程 ，并化简得 设，则 ， ； 因为与相交于点，且的斜率为， 所以， 四边形的面积 当时，上式取等号 （）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积 综上，四边形的面积的最小值为 31、（海南、宁夏理）已知抛物线的焦点为，点， 在抛物线上，且， 则有（ C ） 【分析分析】：由抛物线定义， 即： 32、（海南、宁夏理）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为 3 【分析分析】：如图，过双曲线的顶点 A、焦点 F 分别向其渐近线作垂线，垂足分别为 B、C，则： 33、（海南、宁夏理）（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，经过点且 斜率为的直线 与椭圆有两个不同的交点和 （I）求的取值范围； （II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向 量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由 【解答解答】（）由已知条件，直线 的方程为， 代入椭圆方程得 整理得 直线 与椭圆有两个不同的交点和等价于， 解得或即的取值范围为 （）设，则， 由方程， 又 而 所以与共线等价于， 将代入上式，解得 由（）知或，故没有符合题意的常数 34、（辽宁理）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若 ，则的面积为（ ） A B C D 【解答解答】因为，设，根据双曲线定义得 ，所以， ，为直角三角形，其面积为，选 B 35、（辽宁理）设椭圆上一点到左准线的距离为 10，是该椭圆的左焦点， 若点满足，则= 【解答解答】椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，由已 知 M 为 PF 中点，M（，所以 36、（辽宁理）（本小题满分 14 分）已知正三角形的三个顶点都在抛物线 上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心） （I）求圆的方程； （II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作 圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值 【解答解答】本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综 合运用解析几何知识解决问题的能力满分 14 分 （I）解法一：设两点坐标分别为，由题设知 解得， 所以，或， 设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为 4 分 解法二：设两点坐标分别为，由题设知 又因为，可得即 由，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上 设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得， 所以圆的方程为 4 分 （II）解：设，则 8 分 在中，由圆的几何性质得 ， 所以，由此可得 则的最大值为，最小值为 2007 年高考数学试题汇编圆锥曲线（五） 37、（江西理）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（ ） 必在圆内 必在圆上 必在圆外 以上三种情形都有可能 【解答解答】由=得 a=2c，b=，所以，所以点 到圆心（0，0）的距离为，所以 点 P 在圆内，选 A 38、（江西理）（本小题满分 12 分）设动点到点和的距离分别为和 ，且存在常数，使得 （1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程； （2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使， 其中点为坐标原点 【解答解答】解法一：（1）在中，即， ，即（常数）， 点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线 方程为： （2）设， 当垂直于轴时，的方程为，在双曲线上 即，因为，所以 当不垂直于轴时，设的方程为 由得：， 由题意知：， 所以， 于是： 因为，且在双曲线右支上，所以 由知， 解法二：（1）同解法一 （2）设，的中点为 当时， 因为，所以； 当时， 又所以； 由得，由第二定义得 所以 于是由得 因为，所以，又， 解得：由知 39、（江西文）连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点， 设点为坐标原点，则三角形的面积为（ ） 【解答解答】线段所在直线方程与抛物线交于则： ，选 B 40、（江西文）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（ ） 必在圆上 必在圆外 必在圆内 以上三种情形都有可能 【解答解答】由=得 a=2c，b=，所以， 所以点到圆心（0，0）的距离为 ， 所以点 P 在圆内，选 C. 41、（江西文）（本小题满分 14 分）设动点到点和的距离分别为和 ，且存在常数，使得 （1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程； （2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点问：是否存在，使 是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理 由 【解答解答】（1）在中， （小于的常数） 故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线 方程为 （2）方法一：在中，设， 假设为等腰直角三角形，则 由与得， 则 由得， ， 故存在满足题设条件 方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得 所以， 则 由，可设， 则， 则 由得 根据双曲线定义可得， 平方得： 由消去可解得， 故存在满足题设条件 42、(江苏理)在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近 线方程为，则它的离心率为 A B C D 【解答解答】由 ， 选 A 43、(江苏理)在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭 圆上，则 . 【解答解答】利用椭圆定义和正弦定理 得 b=2*4=8 44、(江苏理)（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一 点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段 和直线交于， （1）若，求 的值；（5 分） （2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5 分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分） 【解答解答】（1）设过 C 点的直线为，所以，即， 设 A，=，因为，所以 ，即， 所以，即所以 （2）设过 Q 的切线为，所以，即 ，它与的交点为 M，又 ，所以 Q，因为,所以，所以 M ,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。 （3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q，因为 PQ轴，所以 因为，所以 P 为 AB 的中点。 45、（湖南理）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准 线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A B C D 【解答解答】由已知 P，所以的中点 Q 的坐标为，由 当时，不存在，此时为中点， 综上得 2007 年高考数学试题汇编圆锥曲线（六） 46、（本小题满分 12 分）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点 的动直线与双曲线相交于两点 （I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； （II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不 存在，请说明理由 【解答解答】由条件知，设， 解法一：（I）设，则 则， ，由得 即 于是的中点坐标为 当不与轴垂直时，即 又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得 ，即 将代入上式，化简得 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程 所以点的轨迹方程是 （II）假设在轴上存在定点，使为常数 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以， 于是 因为是与无关的常数，所以，即，此时= 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为， 此时 故在轴上存在定点，使为常数 解法二：（I）同解法一的（I）有 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以 由得 当时，由得，将其代入有 整理得 当时，点的坐标为，满足上述方程 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程 故点的轨迹方程是 （II）假设在轴上存在定点点，使为常数， 当不与轴垂直时，由（I）有， 以上同解法一的（II） 47、（湖南文）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准 线上纵坐标为（ 为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 【解答解答】由已知 P（），所以化简得 48、（湖南文）（本小题满分 13 分）已知双曲线的右焦点为，过点的动 直线与双曲线相交于两点，点的坐标是 （I）证明，为常数； （II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程 【解答解答】由条件知，设， （I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为， 此时 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入，有 则是上述方程的两个实根，所以， 于是 综上所述，为常数 （II）解法一：设，则， ，由得： 即 于是的中点坐标为 当不与轴垂直时，即 又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得 ，即 将代入上式，化简得 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程 所以点的轨迹方程是 解法二：同解法一得 当不与轴垂直时，由（I） 有 由得 当时，由得，将其代入有 整理得 当时，点的坐标为，满足上述方程 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程 故点的轨迹方程是 49、（湖北理）双曲线的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和；抛物线的准线为 ，焦点为与的一个交点为，则等于（ ） A B C D 【解答解答】由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上,故 由定 义可得 故原式 ，选 A 点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲 线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性。 易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。 50、（湖北理）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且 公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A60 条 B66 条 C72 条 D78 条 【解答解答】可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆 上的整数点共有 12 个，分别为， ，前 8 个点中，过任意一点的圆的切线满足，有 8 条；12 个点中过 任意两点，构成条直线，其中有 4 条直线垂直轴，有 4 条直线垂直轴，还有 6 条 过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有 52 条。综上可知满足题设的直线共有 条，选 A 点评：本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑， 要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题 易错点：不能准确理解题意，甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类 特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错 误，胡乱选择。 2011 年高考分类汇编之解析几何（七） 江西理江西理 9. 若曲线：与曲线：有 4 个不同的交点，则实数的取值范 围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】曲线：，图像为圆心为（1,0），半径为 1 的圆；曲线：，或者 ，直线恒过定点，即曲线图像为轴与恒过定点的两条 直线。作图分析： ， 又直线（或直线）、轴与圆共有四个不同 的交点，结合图形可知 10. 如右图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和 N 是小圆的一条固定 直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M，N 在大圆内所绘出的图形大致是 【答案】A 【解析】 由运动过程可知，小圆圆心始终在以原点为圆心 0.5 为半径的圆上运动。当小圆运动到两圆相切于 P 点 时，则小圆与大圆的切点 P 转过的弧长 PA 长度等于弧 PM，过小圆圆心 B 作 MP 垂线 BF，设转动角度为 AOP=，则大圆弧长 PA=1，小圆弧长 PM=0.5MBP，所以MBP=2，则MBF=，则 MBF=FBP=POA，所以 BFOA，则 MP 平行 y 轴。又PMB=BNO，所以 ONMP，所以 ONy 轴，则 N 点在 y 轴上，又 BF 为PMO 中位线，BFOM，则 OMOA，所以 M 点在 x 轴上。 故最终运动轨迹如 A 图所示。 14. 若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直 线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 【答案】 【解析】作图可知一个切点为（1,0），所以椭圆.分析可知直线为圆与以为 圆心，为半径的圆的公共弦.由与相减得直线方程为： .令，解得，又，故所求椭圆方程为： 15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴 为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 . 【答案】 【解析】对方程左右两边同时乘以得，将 ，代入得方程为： 20. （本小题满分 13 分） 是双曲线：上一点，分别是双曲线的 左、右顶点，直线，的斜率之积为. （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于、两点，为坐标原点，为双曲线 上一点，满足，求的值. 【解析】（1）点是双曲线：上，有 ，由题意又有，可得， 则 （2）联立，得，设， 则，设，即 又为双曲线上一点，即，有 化简得： 又，在双曲线上，所以， 由（1）式又有 得：，解出，或。 江西文江西文 10如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系 X 轴上方，其“底端”落在源点 O 处，一顶点及中心 M 在 Y 轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成 今使“凸轮”沿 X 轴正向滚动有进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心 也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按 上、下放置，应大致为 答案：A 根据中心 M 的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转 动，M 的位置会先变高，当 C 到底时，M 最高，排除 CD 选项，而对于最高点，当 M 最高时，最高点的 高度应该与旋转开始前相同，因此排除 B ,选 A。 12.若双曲线的离心率 e=2，则 m=_. 答案：48. 解析：根据双曲线方程：知，并在双曲线中有：， 离心率 e=2=,m=48 19.(本小题满分 12 分） 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（ ）两点，且 （1）求该抛物线的方程； （2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值 解析：（1）直线 AB 的方程是 所以：，由抛物线定义得：，所以 p=4， 抛物线方程为： （2）、由 p=4，化简得，从而, 从而 A:(1,),B(4,) 设=，又，即 8（4），即，解得。 辽宁理辽宁理 3已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为 C A B1 C D 13已知点（2，3）在双曲线 C：上，C 的焦距为 4，则它的离心率为 2 20（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D （I）设，求与的比值； （II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由 20解：（I）因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设 设直线，分别与 C1，C2的方程联立，求得 4 分 当表示 A，B 的纵坐标，可知 6 分 （II）t=0 时的 l 不符合题意.时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等，即 解得 因为 所以当时，不存在直线 l，使得 BO/AN； 当时，存在直线 l 使得 BO/AN. 23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），曲线 C2的参数方程 为（，为参数），在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=与 C1，C2各有一个交点当=0 时，这两个交点间的距离为 2，当=时，这两个交点重 合 （I）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求出 a 与 b 的值； （II）设当=时，l 与 C1，C2的交点分别为 A1，B1，当=时，l 与 C1，C2的交点为 A2，B2，求四 边形 A1A2B2B1的面积 23解： （I）C1是圆，C2是椭圆. 当时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为 2，所 以 a=3. 当时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以 b=1. （II）C1，C2的普通方程分别为 当时，射线 l 与 C1交点 A1的横坐标为，与 C2交点 B1的横坐标为 当时，射线 l 与 C1，C2的两个交点 A2，B2分别与 A1，B1关于 x 轴对称，因此， 四边形 A1A2B2B1为梯形. 故四边形 A1A2B2B1的面积为 2007 年高考数学试题汇编圆锥曲线（八） 59、（福建文）以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 （ ） 【解答解答】双曲线的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为 x=1，半 径为 1，圆方程为，即+4x+3=0，选 B 60、（福建文）如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作 的垂 线，垂足为点，且 （）求动点的轨迹的方程； （）过点的直线交轨迹于两点，交直线 于点 （1）已知，求的值； （2）求的最小值 【解答解答】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研 究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力满分 14 分 解法一：（）设点，则，由得： ，化简得 （）（1）设直线的方程为： 设，又， 联立方程组，消去得：， 由，得： ，整理得： ， 解法二：（）由得：， ， ， 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为： （）（1）由已知，得 则： 过点分别作准线 的垂线，垂足分别为， 则有： 由得：，即 （）（2）解：由解法一， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为 61、（北京理）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为 ，点在边所在直线上 （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹 方程 【解答解答】（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线 的斜率为 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为 （II）由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为 所以为矩形外接圆的圆心 又 从而矩形外接圆的方程为 （III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 所以， 即 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支 因为实半轴长，半焦距 所以虚半轴长 从而动圆的圆心的轨迹方程为 2007 年高考数学试题汇编圆锥曲线（九） 62、（北京文）椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别 为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） 【解答解答】椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为 ，若，则，该椭圆离心率 e， 取值范围是，选 D