孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.7布洛赫电子的准经典运动.ppt

3.7 布洛赫电子的准经典运动 本节主要内容： 一、布洛赫电子的准经典模型 二、布洛赫电子的加速度和有效质量 前面我们讨论了晶体电子在周期势场中的本征态和本 征能量，从本征态和本征能量出发可以进一步研究晶体 中电子的基态和激发态 3.7 布洛赫电子的准经典运动 因为只要知道了电子本征态的分布，就可以根据统计 物理的基本原理去讨论系统中电子按能量的平衡态分布 问题，也可以讨论在外场下的量子跃迁问题，比如热激 发、光吸收和电子散射等。 另外,当讨论电子在外场中的运动问题时,如果采用量子 力学处理,哈密顿中除了周期势外,还要考虑外势场.而且, 由于外场使得电子的状态和能量随时间变化,所以必须求 解包括外加势场在内的含时薛定谔方程. 求解含时薛定谔方程是很复杂的,为此人们把布 洛赫电子近似当作准经典粒子来处理,这样就避 免了复杂的数学运算,而且物理图像也比较直观. 亦即外电场、磁场对布洛赫电子的作用采用 经典的处理方式，晶格周期场对电子的作用沿 用能带论量子力学的处理方式。 把布洛赫电子当作准经典粒子来处理的近似方 法称为准经典近似。下面我们首先给出布洛赫电 子的准经典模型，然后对这一模型的合理性给出 解释。 1.模型的表述 一、布洛赫电子的准经典模型 假设每个电子具有确定的位置r,波矢k和能带指标n,对 于给定的n(k),在外电场E(r,t)和外磁场B(r,t)的作用下,位 置、波矢、能带指标随时间的变化遵从如下规则: 1).能带指标n是运动常数，电子总呆在同一能带中， 忽略带间跃迁的可能性； 2).电子的速度满足： 3).波矢随时间的变化满足： 电子的运动方程 晶格周期场的量子力学处理的结果全部体现 在 中 因而准经典模型提供了从能带结构推断输运 性质，或反过来从输运性质的测量结果推断能带 结构的理论基础。 在准经典模型中，能带仍然满足前面的对称性。 2.模型合理性的说明 严格求解电子在外电场和外磁场作用下的 行为，应从含时薛定谔方程中得到： 量子力学对应原理告诉我们,如果一个力学体 系的态与态的变化可以用经典力学近似描述,则这 个态在量子力学中可以表示为一个波包. 波包就是指该粒子的空间分布在r0附近r范 围内，动量取值在k0附近 k 范围内，且r 与k满足不确定性关系。 下面我们从量子力学出发给出模型的合理解释 由测不准关系,布洛赫电子的波矢完全确定,则 坐标是完全不确定的. 晶体中,一个电子的本征状态是由布洛赫波函数 来描述的,它具有确定的波矢 和确定的能量 . 虽然波包的波矢不能完全确定，但是波包的空 间位置有一定的确定性。也就是说，这个叠加态 构成的波包以牺牲波矢的完全确定来换取坐标的 某种确定性。 考虑到实际晶体中的电子态,往往是一些本征态 的叠加.如果布洛赫电子的状态由 附近 范围 内的布洛赫本征态叠加构成,它将构成一个波包. 粒子运动的平均速度相当于波包中心移动的速度 前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考 虑时间因子,现在考虑时间因子后，布洛赫波函 数写成： 由于波包包含不同能量本征态(不同的 状态 具有不同的能量).忽略带间跃迁,可把 附近 范 围内的布洛赫本征态叠加构成的波包函数写成: 归一化因子 求和写成积分是同一能带中波矢 是准连续的 令： 考虑到在 附近,调幅因子 变化不大，可 近似用 代替，则波包函数近似为： 在 附近将 展开得： 考虑到 并把被积函数中的矢量用分量表示，且令： 则波包函数可表示为： 上式即布洛赫波包函数 某时刻，在坐标空间内找到电子的概率为： 附加因子 的最大值为1( 或 时) . 当 时,在坐标空间内找到电子的概率为 ,对应 本征态,电子的坐标完全不确定. 如果 , 仅当 时,波包的振幅最大,而 当 时,波包的振幅趋于零.这表明波包 局限在晶体的一个区域内,且位置是时间的函数. 由此,我们可以把某时刻波包的中心位置 认定为电子的坐标，即： 写成矢量形式，即： 波包的中心位置 所以，波包的速度： 这就证明了波包的速度(布洛赫电子的群速度)等于电子 的平均速度 ,模型2得以合理解释. 根据不确定性原理,k越大,r就越小,电子的位置就 越确定.但是波矢通常限制在第一布里渊区,所以k的 取值范围应远小于布里渊区的尺度,否则波矢完全不确 定.因此,要求波包的尺度远大于晶格常数. 在这种意义上,准经典近似成立的条件是外场应随时 间和空间缓慢变化.即波长远大于晶格常数,而频率要小, 以禁止带间跃迁. 由量子力学我们知道,电子的平均速度可写成： 容易证明波包的速度(布洛赫电子的群速度)等于电子 的平均速度 前面,将布洛赫波函数代入薛定谔方程得： 将上述方程两边对 取微分,且令： 则有： 又因为： 所以： 对上式左乘 再对 求积分得： 左1左2 右1右2 由于 是厄米算符，则左2为： 左1右1 则布洛赫电子的平均速度： 说明： 1). 布洛赫态是与时间无关的定态， 有确定 的值.因而,尽管电子和周期排列的离子实相互 作用,但其平均速度将永远保持,不会衰减.也就 是说,一个理想金属晶体,将有无穷大的电导. 2). 由于晶体结构上的不理想性,存在杂质和缺陷,同时,离 子实本身会有热运动,因而电子总会受到散射,使得电子的 自由程有限,从而金属晶体不会有无穷大的电导. 此外，从上述的推导我们可以看出，布洛赫电子无论 从波包还是从平均速度的观点来看，其运动速度都等 于它的表象点在k空间中该点上的能量梯度的1/倍，或 者说晶体电子的速度与能谱曲线的斜率成正比。 因此，晶体电子在k空间任意点的速度垂直于经过 该点的等能面。所以，晶体电子在k空间任意点的速度 不一定和波矢k平行。但对于球形等能面，则晶体电子 的速度和波矢k平行，如自由电子的速度v = k/m，则 与波矢k平行且成正比。 下面对模型3作出解释 即在外力作用下，晶体电子的动力学行为 的合理解释. 由量子力学，任意不显含时间的力学量A的 平均值随时间的变化满足Ehrenfest 关系。即 力学量A的平均值随时间的变化关系为 其中H是系统的哈密顿量. 令A为晶格的平移算符T.在考虑一维情形下(晶 格常数为a), 有： 设没有外力时,系统的哈密顿量是H0 ,则有： 在均匀外力F作用下,系统的哈密顿量可表示为 ： 两式相加得： 上式表示的是位于复平面内园的方程,实轴和虚 轴分别为平移算符本征值的实部和虚部.且由该 式可知,如果最初 是满足周期性边界条件的 布洛赫波,则有： 这样在外力的作用下, 将沿着复平面内的单 位园运动.因此, 仍可表示为： 以上是一维的结果,推广到三维,则有： 这正是模型3 这样我们就从量子力学出发对准经典模型做 出了合理的解释。即运动方程是合理的 此外, 上式也表明,在均匀外力F作用下，对于 波包的每一个分量,波矢均以恒定的速率演变. 称为布洛赫电子的准动量或晶体的动量. 这是因为,外力是对整个晶体的作用,改变的是 整个电子、晶格系统的动量,而不单单是电子 的动量。所以布洛赫电子，常被称为晶体电子 或准电子。 3. 准经典模型的适用范围 (1). 外场的波长要远远大于晶格常数,即: a, 否则,形不成波包. 这是禁止带间跃迁所要求的. 准经典模型描述晶体中电子的外场响应.外 场作为一种力出现在描述波包的坐标和波矢变 化的经典运动方程中.因此,要求与波包的尺度 相比,外场是一个时间和空间的缓变场. (2). 外场变化的频率 必须满足： , 为带隙 由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。 三、布洛赫电子的加速度和有效质量(effective mass) 1.加速度、有效质量 上式与 形式类似，只是现在一个二阶张 量代替了 ，由此我们可以定义电子的有效质 量。 电子加速度公式用矩阵表示为 把 称为电子的有效质量 电子有效质量 是一个二阶张量,写成分量形式为： 由于微分可以交换次序,所 以这是对称张量.转换到主 轴坐标上去,可对角化. 选kx,ky,kz 轴沿张量主轴方向,则有: 这时倒逆有效质量张量是对角化的 所以,在主轴坐标系中： 倒逆有效质量张量的分量为： 1）.紧束缚近似下一维布拉维格子中 电子的情况 带底 带顶 2. 有效质量的计算和特点 加速度为正 加速度为负 带底附近 带顶附近 (布里渊区边界附近) 速度极值处 电子在布里渊区边界附近所表 现的这种特殊行为，是晶格周期场 的作用，是电子受布拉格反射的结 果。在最近邻近似下，kc = /2a；对 于实际情况，比如次近邻等的影响 下kc 会略大于 /2a E k 有效质 量小 有效质 量大 有效质量是k的函数,在能 带底附近总是取正值;在能 带顶附近总是取负值. 有效质量反比于能谱曲线的曲率 解:由紧束缚近似可得体心立方s能带的能量表 达式： 2）体心立方晶格紧束缚近似下的s能带电子 易计算电子的速度和有效质量分别为 显然,此时kx,ky,kz并非 张量主轴坐标,因为 交叉项不为零. 在能带底部,kx=ky=kz=0处， 在能带顶部， 而在 处， 都变成 但在带底 k = (0,0,0) 和带顶 (2/a,0,0); (0,2/a,0); (0,0,2/a)处,却只有对角项存在.有 效质量变成了标量 且有 在能带底部 kx=ky= kz=0附近，由于k很小，所以能带 可近似为 上述在带底和带顶 处的结果也可由能带在带底和带顶 附近的近似展开得到 表明在k = 0附近,等能面近似为球面,有效质量各向同性. 易得有效质量 在带顶，比如(2/a，0，0)附近，能量表达式可以近 似为以(2/a，0，0)为中心的圆 表明在(2/a，0，0) 附近,等能面近似为以(2/a，0，0)为 中心的球面,有效质量各向同性.易得有效质量 令 ，则在(2/a，0，0)附近 、 ky、 kz为小 量，可将能量展开为 通过上述的例子可知，有效质量m*可以是正 值，也可以是负值。特别是在能带底附近，m* 总是正值；在能带顶附近，m*总是负的。 在外场的作用下,晶体中的电子除受外力作用 外,还和晶格相互作用. 晶体中电子的有效质量为什么可能为负值?甚 至还会变成无穷大呢?下面给出简单的分析。 设电子与晶格之间的作用力为Fl , 则由牛顿第 二定律可得 但是电子与晶格之间的作用力Fl的具体表达式 是难以得知的，要使上式中不出现Fl，又要保 持式子恒等，上式只好写成 也就是说电子的有效质量m*本身已概括了晶格 的作用 二式比较得： 将冲量用动量的增量来代换, 则有 从上式可以看出,当电子从外场获得的动量 大于电子传递给晶格的动量时,有效质量m*0; 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格 的动量时,m*0;当电子从外场获得的动量全部 交给晶格时, m* ，此时电子的平均加速度 为零.可见，有效质量不是电子的真实质量. 有效质量m*是固体物理学中的一个重要概念。 (1)m*不是电子的惯性质量，而是在能量周期 场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关 系上相当于牛顿力学中的惯性质量； （2)m*不是一个常数，而是 的函数.有效质量 取决于电子的状态.一般情况下,它是一个张量,只 有特殊情况下,它才可化为一标量的形式; （3)m*可以是正值，也可以是负值，特别有 意义的是：在能带底附近，m*总是正值，表示 电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动 量，而在能带顶附近，m*总是负的，表示电子 从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。 (4). 电子的有效质量m*本身已概括了晶格的作 用.因为晶格势场对电子运动的影响在 中已 经包含了.其值可通过解不含外场的薛定谔方程 求得. 从数学角度来说,能带底对应 的极小,要求 反之,能带顶对应 的极大， 有效质量与准动量是人为定义的，用来描 述晶体中电子的粒子性。用这些概念，处理晶 体中电子的输运问题，可以把布洛赫电子看成 是具有质量m*、动量为 的准电子，使我们能 够只考虑外力作用下这样的准电子的运动。由 于通常晶体周期场的作用是未知的，也不象外 力那么容易求出，所以引入这两个量，给处理 问题带来很大的方便。 （5）一般而言,对于宽的能带,能量随波矢变化 比较剧烈, m*小;而对于窄能带,m*大一些.窄能带 相当于电子波函数交叠较少,定域性强,不易动, 质量大,对应原子的内层电子. （6）实际测量电子的有效质