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把握数学本质 使数学教学更有效 两则案例带给我们的启示 小学教学编辑部 殷现宾 1 1 从“数学味”谈起 n数学课应该有数学味，你同意吗？ n问题： 1. 为什么要有数学味？（Why） 2. 数学味指的是什么？（What） 3. 怎样的课才算是有数学味？（评价 ） 怎样才能使数学课有数学味？（策略 ） （How） 2 2 两则案例 3 3 案例一 ：“坑坑洼洼的怎么补啊？” （把握学科本质是一切教学法的根2007.08） 情境一：王奶奶家门前有 一块形状如图的地，如何 求这块地的面积呢? n意图：通过引导得出方法，渗透“转化” 思想 。 n生：这是一块地，您怎么移动、怎么“补”啊? n师：这不是真的地，我们现在是在做数学题。 n该学生不再“找茬”。 4 4 案例一 情境二：李奶奶家门前 也有一块地，是这个形 状，怎么求它的面积呢? n教师的意图是将该“地”近似看成平行四边形 ，从而引出本课内容。 n该生：老师，这块“地”坑坑洼洼的，您怎么 补啊? n师：不是说了吗，这不是真的地，我们是在 做“数学题”。 5 5 n类似例子： 地球自转：“坐地日行八万 里” 1667km/h rou（即绕着中心快速地转圈） n问题：这两个“傻”问题的实质是什么？ n第一次：这是一块地，怎么移动、怎么“ 补”啊? 学生没有弄清“什么是数学” “什么 是运用数学解决实际问题”。（横向数学 化） 6 6 n第二次：“地” 的边界是“坑坑洼洼的”， 用哪个“凸”补哪个“凹”呢? 朴素而又深刻: 求面积，用面积单 位铺面积单位个数m2大，换 成dm2；不规则图形 “面积” 问题积分 近似整体思想；精确积分思 想 n这个案例给我们的启示是什么？ 7 7 启 示 1. 弄清学生问题的实质。 价值判断决策（机制）。例：投影屏 幕与电脑的体积 注意：越是简单朴素的问题往往越蕴涵着 数学本质的思想方法。 2. 提高自身的数学素养，增强判断力。 3. 追问：什么是“数学化”？研读作为教 育任务的数学（弗赖登塔尔著） “积分思想”到底指什么？高等数 学 8 8 案例二：减法的初步认识 1. 创设情境，生发现信息并提出问题： n停车场原来有5辆小汽车，开走了2辆，还剩 几辆？ n（学生顺利列出算式） 2. 要求：利用学具，自己动手创造一个用减 法解决的问题，并列式解决。 【亲历减法意义的感知过程，并板书各种算式 ，为后续观察、比较、总结作准备】 9 9 3. 交流汇报： n女孩：“我本来拿了5个小水果，送给同桌2个 ，我还剩几个水果？我列的算式是5-2=3。” n男孩：“怎么还是5-2=3啊？重复了！” n女孩辩解：“没重复，这次不是汽车，是水果。 ” n男孩：“反正也是5-2=3，还说不重复？” n大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说 得有道理，辩论不出结果。 【对这样的“冲突”，你会怎么处理？】 1010 n师：“你能再想一件事情，也用5-2=3来表 示吗？” n孩子们编出很多情境，如教室有5个小朋友 草地上有5朵小花有5支铅笔 n刚发完言的一个学生：“这样的事情我还能说 好多呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本 领真大呀！” 【这样处理是不是很好？该结束了吧？】 1111 n师（捅破“窗户纸”）：有的事情发生在停车场 里，有的事情发生在教室里。为什么完全不一 样的事，却能用同一个算式来表示呢？ n学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个 算式所表示的意思都是一样的。 n教师趁热打铁，又问：“3+6=9可以表示的事 情多不多？那就一个数8都可以表示什么？” n学生脱口而出：“那太多了！” n教师又问：“你现在有什么想法？” n生：“我觉得数和算式都太神奇了，能表示那 么多不同的事物！” 1212 启 示 1. 设计有过程的教学。 经历、体验经验。减法意义的感知。 2. 提出好的问题。（张齐华：半径有无数条吗？你能用一个数对表示一排吗？ ） 3. 该出手时就出手。（决策：忽略；肯定或否定；延伸） （1）“重复了，咱就不写了。” （2）“你能再想一件事情”（更多例证） “有的事情发生在停车场里，有的” （抽 象） n怎样出手？不仅取决于教育观念，更取决于教 师的数学素养。（要不要出定义、法则？） n追问：数学素养包括哪些方面？数学本质？ 1313 “好（有价值）的问题”的标准 1、具有较强的探索性。（力所能及） 2、具有一定的启示意义。（有利于学生掌 握相关的数学知识和思想方法） 3、具有多种解法甚至多种答案。 4、具有一定的发展余地。 5、具有一定的现实意义或与实际生活相联 系。 6、有利于合作学习。 7、问题的表述应简单易懂。 1414 什么是数学的本质？ n什么是“数学味”？ n怎样的课才算是有数学味？ n怎样使数学课有数学味？ 体现数学的特点，突出数学的本质 n数学的特点：高度的抽象性（减法） 严密的逻辑性（算理） 应用的广泛性 1515 n课标：数学是人们对客观世界定性把握 和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法 和理论，并进行广泛应用的过程。 n问题情境建立模型解释、应用 与拓展（数学：模式的科学）（数学化 ） n修订版课标：数学是研究现实世界中数 量关系和空间形式（量性特征）的科学 。 1616 资料：碳排放权交易 n 2008年9月，（慈溪风电场 ）首期 33台风能发电机组全部并网发电，年发 电量约亿千瓦时，可供2万至3万户居 民家庭用电 一年能“腾”出9万吨二 氧化碳减排指标。按目前国际市场上每吨 “指标”约10美元计算，慈溪风电场每年 的指标可换90万美元，约600万元人民 币。 1717 数学学科的本质是指 n数学基本概念 n数学思想方法 n数学特有的思维方式 n数学美 n数学精神 1818 （一）对数学基本概念的理解 n小学的基本概念主要有： 十进位值制 、单位(份)、用字母表示数、四则运算 ； 位置、变换、平面图形； 统计观念 。 n“理解”是指了解： 1. 为什么要学习这一概念？其现实原型是什么 ？ 2.这一概念特有的数学内涵是什么？ 3.以此概念为核心能否构建一个“概念网络图” ？ 1919 n数学定义数学概念。（经历过程，感知、体验 ） n经历不同认知过程，才能达到不同理解水平： 模仿与辨别事实性水平； 归纳与抽象概念性水平； 综合与应用方法性水平； 猜想与创造主体性水平。 n例：1.牛献礼教学要挠到学生的“痒”处 （ 小学教学数学版 2010.04） 2.张齐华确定位置（字母表示数） 2020 （二）对数学思想方法的把握 n小学阶段的重要思想方法：分类思想、转 化(化归)思想、数形结合思想、一一对应 思想、函数思想、方程思想、集合思想、 符号化思想、类比法、不完全归纳法等。 n如何落实在学习数学概念和解决问题 中。 n化归：物理学家和数学家的对话 n二年级“逻辑”一课 2121 （三）对数学特有的思维方式的感悟 n主要有：比较、类比、抽象、概括、猜想、 验证。其中“抽象”是数学思维方式的核心。（ 郑毓信走进数学思维2008.5-11） n数学是思维的体操，是开启智慧的钥匙。 （四）对数学美的鉴赏 n 有助于培养学生对待数学学习的积极态度。 n 数学的基本原则：求真、求简、求美。 n 数学美是指：简洁、对称、奇异。其中对 称”是数学美的核心。（三角形内角和；e- 2i=1） 2222 （五）对数学精神的追求 n理性精神(如对公理化思想”的信奉) 探究精神(好奇心为基础，对理性的不懈追求) 它们是支撑数学家研究数学进而研究世界 的动力，也是学生学习数学、研究世界最永恒 、最有效的动力。 n三角形内角和：测量、剪拼、折叠证明 n“欧氏几何”罗巴切夫斯基几何黎曼几何 n勾股定理费尔马大定理（1637年提出） （英籍数学家怀尔斯1995年证得。历时300年） n四色定理：1852提出，1976年用计算机证得。 n哥德巴赫猜想和角谷猜想（2009.11） 2323 三、怎样把握数学本质？ （一）有关策略 1.主动进修。 （提高自身专业素养） （1） 专门进修。学习数学专业课程。 （2） 业余进修。如：数学专业书籍，报刊 。 2. 做中学。（积累经验） （1）向学生学习。把握（研究）学生的问 题和错误的本质。 2424 （2）在追问把握本质。（要有长时间思考 一个问题的习惯）（开放，不放过有价值 的问题。如，这些问题你会解答吗？ ） （3） 与大师对话。（刘加霞小学数学课 堂的有效教学书；张奠宙小学数学研 究书；郑毓信数学思维与小学数学 书；张齐华平均数（2009.05）与 吴正宪平均数 n 与张奠宙先生的讨论：1（0.9） 2（分 数） 2525 （二）案例 n1.“循环小数” 2008.11 n2.电话号码与数（贲友林）2009.10期 n3.两个数与三个数的最小公倍数 （数 学教师亟需丰富内涵 2007.01） n4.点点统计图 （一节统计课留给我们 的思考2007.04） n5.烦人的“端点” 2626 n6.朱乐平：要求长方形面积，必须知道 长和宽吗“充分条件”2006.01 ；练习课，原来还可以这样上 2009.09 n7.数学美： 唐彩斌数学原来可以那么美2008.7-8 ；蒋明玉数形结合 探究规律2008.03 ；二进制与计算机（2008.02） 角谷猜想（数学黑洞）2009.11；歌德巴赫 猜想；无理数第一次数学危机；九宫 图（2008.7-8，9）、四色定理 2727 n8.运算定律与归纳法 不完全归纳法和数学归纳法，递归。 n9.综合与应用：“打电话问题” n10.专家（刘加霞）评课： “100以内数的认识”2009.09； “百数表”2009.10； 2828 总 结 n创设好的情境（数学问题）（骄傲的“9”） n提出有价值的问题 n设计有过程的教学（在过程中体验、感悟） n把握（研究）学生的问题和错误的本质 n该出手时就出手 n在追问中把握本质（养成长时间思考一个问题 的习惯，如0.999=1？） n提高自身的数学素养（治本之策） 2929 写作时应注意： 1、尽可能围绕一个（小）问题来写，将其说 清楚、讲透彻。 2、对案例做出针对性的分析，不能两张皮。 对于问题，一般应提出对策。 3、不求写得很长（一般10004000字） ，而是求深度。 4、文体不限，尽可能“万变”（先叙后议、先 议后叙、夹叙夹议等）。 3030 投稿时应注意： 1、有针对性地投稿。如针对杂志，小学教 学杂志喜欢案例与反思类的文章；也可针 对栏目投稿，如“讨论吧”。 2、时间性强（如涉及教学进度）的文章。一 般提前34个月投稿。 3、注意反思和交流。与同事、有经验的作者 、编辑等交流。 4、千万不要同时一稿多投。 （一般3个月后 未接到通知或未见发表可另投） 3131 n（450004）郑州市顺河路 11号 小学教学编辑部 殷现宾 n电 话nE-mail： n欢迎投稿和订阅（语文版36-37， 数学版36-307） 3232 3333 3434 3535 3636 2010.1话题：数学课堂是否应该关注 非数学问题（2009.09） n“有余数除法” 课上的一道题： “我们班50名同学去划船，一条船只能坐9人 ，那么我们需要租几条船？” n学生列式：509=5（条）5（人） n剩下的5人要不要再租1条船？学生争论不休： n生1：不应该再租1条船，那样太浪费了，每条 船再多坐1人就行了。 n（许多学生表示赞同） 3737 n生2：老师，现在什么运输工具不超载呀？不超 载哪能挣钱？ n生3：我爸是司机，他开的是载重5吨的车子， 每次都装近10吨的货，一次事故都没有发生过 。 n生4：（笑嘻嘻地）老师，有一次我过河赶集， 船上已经很挤了，我看到你还是硬挤上去了。 不是也顺利过河了吗？ n（全班学生哄堂大笑） n您在课堂上遇到过这样的情况吗？对于这样的 非数学问题，您认为该怎么处理？ 【返回 】 3838 循环小数（2008.11） n它决不是从“从前有座山”得来的。这位老师 ：让做题最慢和最快的两生比赛，分别做38 和5012。结果“不公平”，从而说理由、探索 n还有：让学生计算19、29后，老师说：“ 好，下面不算了，咱们猜” “39=？” “89=？”“0.888”“99=？ ”“0.999”刚说完又觉得不对劲，“1！”“1 ！” 地喊起来 【返回】 3939 新课程下，数学教师亟需提高内涵 n（浙江省绍兴市马山镇袍江小学 屠芝娟）（2007.01） n背景：教学“求三个数的最小公倍数” ， 学生都认为跟两个数的情况差不多。于是 老师出三个数12、16、18让学生试做。 结果是：2689=864。 n接着，学生与书上对照后提出：“为什么 在短除法中还要除以两个数的公约数？” 情急之下：“你们用写倍数的方法找找看 。” 4040 n探寻：学生期盼的目光迫使我再次翻开自考后 尘封已久的数论简明教程。 定理1：a，b=ab/(a,b)； 定理2：若a1,a2=m2，m2,a3=m3 ， ，mn-1,an=mn， 则a1,a2,an=mn 。 接着，自己琢磨，然后推出： m3=a1a2a3(a1,a2,a3)/(a1,a2)(a1,a3) (a2,a3) n重新设计： 感悟： 4141 n我审稿时评价： n“心灵的震撼” n 1.教学开放； n 2.敬业； n 3.文章好； n 4.农村教师就能达到这样的水 平，厉害！ 【返回】 4242 “数字与信息”导入（贲友林 ） 1. 屏幕出示： n师：认识吗？看到“1”，你想到了什么？ n生：1个苹果。 n生：我想到比赛第1名。 n生：我想到了1张桌子。 n师：1个苹果，1张桌子，这里的1表示什么？ n生：数量。 n（板书：数量。） 4343 n师：大家的发言比较积极，感谢第1位发言的同 学！刚才有同学说，比赛第1名，这里“第1名” 中的“1”，以及 “第1位”中的“1”，表示什么 ？ n生：次序、顺序。 n（师板书：顺序） 2. 继续出示： n师：这是10，它可以表示数量吗？可以表示顺 序吗？举例说说。 n生：10个梨，10表示数量。 n生：第10名，10表示顺序。 4444 3. 继续出示： n师：你又想到了什么？ n生：110个苹果，数量；第110名，顺序。 n生：我想到了警车“110”。（报警电话） n师：110是一个数，换个角度看，1、1、0这 三个数字的组合，传递给我们的信息是一个特 殊的电话号码。通常怎么读？它还表示数量吗 ？顺序？这是把三个数字进行编码。 （板书： 编码） n师：数字组成数，可以用来表示数量、顺序， 表达信息；数字通过编码，也表达了一定的信 息。 【返回1】 【返回2 】 4545 打电话问题（综合应用） 一、对教材的思考与困惑（打电话1、2） n教材的安排：直接给出“老师打电话通知15人 ，每分钟通知1人，帮助老师设计一个打电话的 方案”。提示：“一个一个通知分组通知 更快的方法(画树状图)发现规律”。最后 解决 “照这样通知50人最少花多少时间”的问 题 。 n我的困惑：学生想到“一个一个通知”没问题， 但能否想到“分组通知”呢?“分组通知”的情况 有很多，如何引到画“树状图”来思考呢? 让五 年级学生发现“2的n次方减1”的规律已经很困 难，又如何逆向思考解决“通知50人”的问题呢 ？ 4646 4747 4848 n我的选择有两个： n一是完全放开，即直接把“通知15人”的问 题抛给学生。大胆放手，让学生用大量的时 间进行小组合作，探究出“打电话”的各种各 样的方案。在此基础上再归纳到“最省时方 案”上。 n二是注重用数学思想方法解决问题的指导。 即引导学生由“1分钟最多通知几人”这个最 简单、特殊的情况入手进行分析，按照一定 的顺序进而分析2分钟、3分钟最多通知几人 如此逐步进行。 4949 二、教学前测 n目的：考查教学内容的难易程度以及学生对运 用“画图”方法思考问题的情况。 n (1)老师直接叙述问题：一个合唱队共有15人 ，周末接到一个紧急演出的任务，老师需要尽 快通知到每一个队员。如果用打电话的方式， 每分钟通知1人，最少用多长时间通知所有队员 ? n 全班学生马上反应：15分钟，没有异议出现。 n 分析：看来学生忽略了问题中的“最少”。 n(2)老师停了停，追问：“都认为是15分钟吗 ?” n 有学生举起手来，他们认为先接到通知的可 以通知下一名同学，这样节省时间。 5050 n(3)老师采用打电话的方式，每分钟通知1人，2 分钟最多通知多少人?试着把你的想法用最简洁 、最清晰明了的方式表示在数学纸上。 nA表示形式 （共41人） n用文字叙述思路的（6人）；画“小人”等图示表 示的（3人）；写“师、生”等汉字图示表示的（ 25人）；写字母图示表示的（1人）；画符号 图示表示的（2人） ；其他表示方法（4人）。 n分析：在老师的提示下，大多数学生能用画图 的方式表达。但多数学生不会用简洁的符号进 行画图，看来用画“树状图”的方式思考还需指 导。 5151 nB表示结果 n认为最多通知 2人的（1人）；认为最多通 知 3人的（35人）；认为最多通知 4人的 （2人）；思路不清的（3人）。 n分析：对于“2分钟最多通知多少人”这样较 简单的问题在前面的提示(先接到通知的可 以通知下一名同学)下，大部分学生能采用 最省时方案，但仍有学生不会采用最省时方 案。 5252 三、教学过程 （一）初步探究，发现最优 n (出示问题) 一个合唱队共有15人，周末接到 一个紧急演出的任务，老师需要尽快通知到每 一个队员。如果采用打电话的方式，每分钟通 知1人，最少用多长时间通知所有队员? n多数学生：15分钟。 n生：我觉得可以比15分钟少，因为老师通知了 的人可以再通知别的人呀! n师：看来他很会审题，注意到了哪两个字? n生：最少。 5353 n师：看来要想花最少的时间通知所有人并不是 老师一个一个通知那么简单。那怎样才能解决 这个问题呢?我们还是从特殊情况入手来分析吧 ，这是我们思考问题常用的一种方法。 n师：请问老师1分钟最多(板书)通知几个人? n生：1个人。 n师：为什么呀? n生：因为每分钟只能通知1个人。 n师：也就是说1个人在每1分钟内只能通知1个 人”是解决这个问题的前提条件。(板书) n【突出“最多与前面的“最少”相对照， 使学 生明确此问题的前提条件，为建模做准 备。】 5454 n师：那2分钟最多能通知多少人呢?自己先想一 想，试着把你的想法用最简洁、最清晰明了的 方式表示在数学纸上。 n生尝试， 师选取代表性方案准备展示。 n1. 文字叙述的方式 。（学习态度非常认真） n2. 画图(用简笔小人表示老师和同学以及用“师 队员)的方式 。（既简洁又清楚，很会学习 ） n3. 符号图示 (树状图) 的 方式。（很有数学头 脑，用简单的符号和图示表达复杂的关系很了 不起。请这个学生“把你的想法与大家交流一下 ”。 n 5555 n师：其实这是我们思考数学问题常用的“树状图 ”，你学会了吗?让我们一起再来画一画。 n(生在老师的带领下边说边画) n师：为什么这种方案通知到的人最多? n生：因为第二分钟时老师又通知了1个人。 n师小结：也就是说第一分钟时老师通知了1个人 ，第二分钟时老师又通知了1个人，而接到通知 的队员也没闲着，也通知了1个人。这样保证每 个人都不空闲(板书)，接到通知后马上通知下 一个人，这样通知的人就最多。 n 【强调“每个人都不空闲”是解决问题的关键】 5656 （二） 进一步探究，找出答案 n师：可是2分钟最多才能通知3个人呀!我们可要 通知15个人呢! n 生：接着看3分钟最多能 通知多少人。 n n 师：我们来看一看是不是这样： 老师充分利 用这有限的3分钟时间通知了3个人，第一个接 到通知的人充分利用剩下的2分钟又通知了2个 人，再接到通知的人充分利用剩下的1分钟又分 别通知了1个人。2分钟时通知了3个人加上 老师，这4个人又继续通知了4个人，翻倍增长 。 n【两种角度解释，为总结规律做准备】 5757 n师：可还没有解决咱们通知15人的问题，看来 还得研究一下4分钟最多能通知多少人。（指上 图）刚才是3分钟通知7个人，照这样继续通知 下去4分钟最多通知多少个人呢? n生：15个人! n师：有不同意见吗? n生：没有。3分钟最多通知7个人，加上老师8 个人又都通知了1个人，7+8=15。 n师：请两名同学到前面摆一摆、说一说，进行 验证，看看是不是这样。 n (生验证) 5858 n师：4分钟最多通知15个人，那通知16个人 可能吗?为什么? n生：不可能!最多通知15个人，不可能比15还 多。 n师：通知17、20个人 n生：更不可能了，最多通知15个人! n师：看来“最多”很重要。 n师：4分钟最多通知15个人，反过来说就是老 师要想通知15个人最少用几分钟? n 生：4分钟。 5959 n一生提出异议：我觉得通知15人最少不是用4 分钟，我可以半分钟通知1个人呀! n 其他学生异口同声反驳：前提条件是“每分 钟通知1个人”。 n 师说明：非常感谢你能提出这样一个重要问 题：生活中怎么可能通知1个人正好用1分钟呢 ?其实我们这里所说的是一种理想情况。在生活 中可能我们进行一次通知用不了1分钟或比1分 钟长，但这种规律是不变的。只是因为1分钟好 研究好计算，就把它作为一个数学模型来研究“ 打电话”问题的规律了。你明白了吗? 6060 n师：我们继续看，3分钟最多通知7个人，反过 来说就是老师要想通知7个人最少用 n生：3分钟。 n【强化对“最多”的理解，让学生逆向思维，沟 通“最多”与“最少”的关系。】 n师小结：(指板书)现在这个问题解决了吗? 在 解决刚才这个问题的时候，我们按照一定的顺 序，从较特殊情况入手进行分析，最终使这个 问题得到解决，这是一种很好的学习方法。 n【强调数学从特殊情况入手分析的思考方法。 】 6161 （三）深入探究，发现规律 n师：我们还要有深入思考的习惯。我们刚才研 究的都是特殊的1分钟、2分钟、3分钟、4分钟 最多通知多少人，那要是8分钟、100分钟最多 能通知多少人呢?我们就得寻找什么? n生：规律。 n师：到底有没有规律呢?观察一下“树状图”不同 颜色圆点的变化和黑板上的数据。 n生：1+2，3+4，7+8， n师：这是利用前一结论推导出下一个结论，很 好。但这样总要得出前一分钟的结论才行，有 没有不利用前一次结论就能得到结果的规律? 6262 n生：1+21，3+22，7+22 2， n师：很好，这与前一种规律类似，属于数学上 的一种重要思想，递归思想。有没有根据分钟 数直接就能知道最多通知多少人的规律? n(老师给一些提示，引导学生看板书) n 时间(分) 1 2 3 4 n 人数(人) 1 3 7 15 n 2 4 8 16 n师：1分钟时最多通知了几个人?(算上老师一共 几个人知道通知了?)2分钟时算上老师一共几个 人知道通知了呢?发现规律了吗? n生：2-1 ，22-1 ，222-1 6363 n师：解释一下为什么有这样的规律? n n师追问：那5分钟、6分钟、100分钟最多通 知多少个人? n师小结：n分钟最多可以通知到 n个2相乘再 减1个人，在数学上可以写成2n-1，2n就表 示n个2相乘。 n【渗透不完全归纳法，构建数学模型】 n（该结束了吧？） 6464 （四）应用规律，提升认识 n 师：请看屏幕，用这条整数轴表示打电话通 知的人数。前提条件是每分钟通知1个人，那么 1分钟最多只能通知1个人，也就是说通知1个 人至少用1分钟。2分钟最多能通知3个人。通 知2个人至少用几分钟? 3分钟最多通知7个人 ，3分钟通知8个人行吗?为什么? 6565 n师：我要通知12个人，你们说我最少用多长时 间? n生：4分钟。 n师：我可没想通知15个人? n生：8到15人至少都用4分钟，12人在8到15 人之间。 n师：咱班有52人。我要打电话通知咱们班所有 同学一件事，假设也是每分钟通知一个人，最 少用多长时间? n (生讨论，然后汇报) n生：如果通知的人数是在16到31人之间，至少 5分钟，但52不在这一区间，而在32到63人 之间，所以最少用6分钟。 6666 n师：刚才同学们通过计算知道了6分钟最多可以通 知63人，按这个规律继续算下去7分钟127人 ，8分钟255人，9分钟511人，20分钟 1 048 575人呢!看似2并不大，这叫指数(指 n)，如果按照指数增长，其速度有多么快！这就是 数学神奇的魅力。 n汉诺塔问题：开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下 了三根金刚石棒，第一根上套着64个圆片移动 圆片的次数恰如我们刚才研究的题：18 446 744 073 709 551 615。看来众僧们耗尽毕生精力 也不可能完成。 n 后来这个传说演变为汉诺塔游戏。同学们在网上 或科技馆都能见到，有兴趣可以试一试。此外汉诺 塔问题也是程序设计中的经典递归问题。 6767 四、教学后的反思 n1建立数学模型，提高学生应用数学的 能力。 n2渗透数学思想方法，提高学生数学思 维素质。 n3我们要什么样的探究?是表面的热闹 还是真正的参与? n4总结出规律就大功告成了吗?我们要 达成什么样的教学目标? n5“传统的讲授”还要吗? 【返回】 6868 2008年开封市六年级试题 （2009.02） n例：阅读故事，回答问题。 n 在数学上也不乏此时无声胜有声的小故事。 1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学 家科勒上了讲台，他没有说一句话，只用粉笔 在黑板上写了两个算式，一个是67个2相乘减 1，另一个是 193707721761838257287，并演算 出结果。两个算式的结果完全相同，这时，全 场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？ 6969 n因为科勒解决了200年来一直没有弄清的一个 问题，即67个2相乘再减1的结果是不是质数 ？现在既然它等于另外两个数的乘积，因此证 明了67个2相乘再减1不是质数，而是合数。 n科勒只做了一个简短的无声的报告，可这是他 花了3年中全部星期天的时间，才得出的结论 。在这简短算式中所蕴含的智慧、毅力和努力 ，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。 n 请你用数学概念说明为什么67个2相乘再减 1的结果不是质数，而是合数。 7070 n这个题目不需要计算。要说明为什么67个2相 乘再减1的结果不是质数而是合数，首先要明 确质数和合数的意义 ，其次要用合数的概念 与题目中的相关信息相结合，说明67个2相乘 再减1的结果除了1和它本身两个因数外，还 有两个因数。 n这里主要考察学生阅读能力、数学思考能力、 分析推理能力、等量代换能力、概念掌握的准 确与灵活程度以及用语言表达数学思想的能力 。其目的是为了促进教与学方式的转变。数学 学习不只是用计算来解决问题，用语言表达一 种数学思考也是很重要的解决问题的方式。 7171 从学生试卷中发现： n1. 没有读懂故事，不知故事所云，怎么也不能 将故事与数学联系起来，所以无从下手。 n2. 不能清晰、准确地从故事中提取数学信息， 不能将数学概念与故事中的信息有机结合，建 立不了数学模型，从而解决不了问题。 n3.不能用语言表达自己的数学思考，好像怎么 也说不清楚自己的想法。 n更有甚者，部分老师也不知道该怎样回答。 n这些现象难道不发人深思吗？深思的结果必然 是促进数学教学的改进。 【返回 】 7272 n费马的素数公式：2的2n次方加1 n当n=0，1，2，3，4时都正确，n=5时 ，4294967297是不是素数？当时不能 分解，所以认为也是。后来，天才的欧拉 指出，它能被641整除，即 641*6700417。 n另有：n2-79n+1601。N为079时都 是素数，但n=80时失效。 n(2p+1)/3 （p为奇素数），到p=37时 是合数。 7373 这些问题你会解答吗？ n1.电话号码是数吗？ n2.最小的一位数是几？ 300006532你会读吗？ n3. 3x5=32，是方程吗？ n4. 0.999与1谁大？ n5. “要求长方形的面积，必须知道什么？ ”这句话对吗？ 7474 n6. 正反反正反（ ）；“姐姐（ ）比弟弟 大”和“我一定要考100分”是概率事件吗 ？ n7.线段的两端和射线的起点都叫“端点”， 为什么在“角”里就叫“顶点”了呢？ n8. 直线比射线长吗？自然数比偶数多吗？ n9. “应该是52分09秒,不应是51分69秒！ ”“为什么退1，退2不行吗？”“退1为什 么当10，当9、当8可以吗？” n10.“学了分数，还学小数干什么？”【返 回】 7575 教学要挠到学生的“痒”处 （牛献礼，2010.04） n编儿歌：1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿； n 2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿； n 3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿 ； n n 你能用一句话就把这首儿歌读完吗？ n生思考，师收集学生的典型想法。全班交流 时，师有序呈现： 7676 n方法一：x只青蛙x张嘴，x只眼睛x条腿 。 n老师没有做出评价，而是让学生来评价这 种方法的优劣。 n生1：如果x代表1，就成了1只青蛙1张 嘴，1只眼睛1条腿，这是一只残废的青 蛙。（众笑） n同学们在笑声中明白了“在同一个情境中 ，一个字母只能代表同一个数”。 7777 n方法二：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿 。 n师：这种方法用不同的字母来表示不同的 数量，就避免了上面的问题，好不好？ n生2：这个方法也不好。我也举个例子： a代表1，b代表3，c代表5，就成了“1 只青蛙1张嘴，3只眼睛5条腿”，也是一 只残废的青蛙。（众笑） n同学们又一次在笑声中明白了必须用字母 表示出数量之间的正确关系。 7878 n师：你是说这样的写法没有反映出儿歌 中几个数量之间的关系，所以不太好。 其实这里的b和c分别表示什么？ n生：b表示a，c表示a。 n呈现方法三：a只青蛙a张嘴，a2只眼 睛a4条腿。 n 【返回 】 7979 张齐华确定位置 n师：下面，我提高要求，直接报数对，请符合 要求的同学迅速起立。看谁的反应最快。（3， 1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。 n相应地，五名学生一一起立。 n师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？ n生：因为你报的数对有规律。 n师：是吗，说来听听？ n生：这五个数对列数都是3，说明他们都在第3 列，当然就站起来一队了。 8080 n师：说起来挺容易，如果也让你来出几个数对 ，你有本事也让一队同学站起来吗？谁来试试 ？ n生：（5，1）（5，2）（5，5）。 n师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有 没有不一样的？ n生：（1，3）（2，3）（5，3）。 n师：发现了什么？ 生：这回站起来的是一行 。 n师：有变化了。能说说为什么吗？ n（生答略） n师：真不错！ 8181 n师：不过，张老师觉得这还不算什么。说5个数 对，站起来一排；要是我说，我只给1个数对， 就可以站起来一排，你们信吗？ n生：不信！ 生：不可能！ n师：口说无凭，要不试试？出示（4，x）符 合要求的同学请站起来。生站起。问（4，1 ）奇怪，我上面写（4，1）了没有？ 生： 没有。 n师：那你站起来干吗？还不坐下去？（生笑） n生：不对，（4，x）中的x是一个未知数，既 可以表示1，也可以表示2，3，4等，所以我们 都站起来了。 8282 n师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学 站起来。 n生：不厉害。我也会！ n师：是吗？谁来试试。 n生：（x，4）。 n师：换了个个儿，真能站起一队吗？来，符合 条件的站起来。（第4行学生很快站起）还真不 赖啊！ n生：老师，我还可让全班同学都站起来。 n师：是吗？！越来越厉害了。试试？ n生：（x，x）。 8383 n师：来，符合要求的请起立。（全班学生站起 ）嗯，让我来看看，当x等于1时，该谁站起来 ？数对为（1，1）的同学举手示意，不错！ 当x等于2呢？ n数对为（2，2）的同学也示意了一下，此时， 有部分同学开始犹豫，也有同学重新坐了下来 。 n师：奇怪，有人开始坐下去了。采访一下