数学建模(山东培训2012)会议报告.ppt

数学建模：科研、教学与竞赛 孟大志 北京工业大学 Tel:1 李大潜院士倡导：问题驱动的应用数学。 数学建模的目的是科学研究与数学应用。 应用数学方法： 数学建模和科学与工程计算构成了数学应 用的两大支柱。 2 一、数学建模为什么火起来？ 1、二十一世纪的社会需求 1.1计算 计算与数学建模已经形成新世纪的最广泛的特征。 海量数据源：Web与Internet数据、社会管理数据 、全球化经济数据、环境与资源数据、个人信息数 据、科学研究数据、多媒体型数据，等等。 “奔驰和车上的人哪个值钱？”下一个核心产业 是什么？IT or DI？ 海量数据是最大的资源：数据信息产业！ 3 数据处理：数据 信息 知识 方法统一称为：计算！ 因此，计算将成为二十一世纪最普遍的时代特征！ 海量数据首先依赖于数据处理计算 数据信息知识：数据+结构信息， 信息+结构知识。 结构是核心： 相同的数据，不同的结构，信息不同： 下雨天，留客天，留我不留？ 下雨天留客，天留我不留！ 4 微软亚洲研究院“二十一世纪的计算”大型国 际学术研讨会在一年一次的例会上，明确提出了 二十一世纪的计算将从以应用为核心的计算理念 转变为以数据为核心的计算。 从海量数据中发掘数据的应用价值和应用方 法以数据为核心的计算，即没有或不清楚数 据中隐含的信息与知识，通过计算与建模发现数 据的应用。例如数据挖掘。 计算的变迁 5 发现和创新！ 1.2 数学建模 为什么要建模 科学研究的目的是通过对现实世界中的现象和 复杂的过程去发掘隐藏在背后的原因（机理）并且 进行预测。数据、信息、知识是解决问题的基础， 但是数据整合与分析并不能给出机理的描述，只能 给出数据特征。解决问题的方法是数学建模和计算 ：应用数学。 数学建模是社会创新的主要特征： 高科技即数学技术化！ 6 2、数学建模和应用数学的发展 数学处理方法相对成熟的领域（如力学、天文 及传统工业领域等）扩展到化学、生物、经济及社 会学领域。同时在新兴的科学领域、高新技术领域 包括生命、信息、环境、材料、能源、经济等方面 都提出了新的课题。例如，经济、金融类专业，以 往划分在文科专业，随着数学的渗透，定量经济学 、经济数学、金融数学都在蓬勃发展，各种经济、 金融中的数学模型也应运而生。更进一步，由于经 济、金融业的发展和需求，产生了一门新的有关经 济的数学学科精算，相应的有了精算师这一新 行业。 适应社会需求和应用数学的发展，数学建模 在二十一世纪成为炙手可热的领域！ 7 3、二十一世纪的中心学科的转换 二十世纪是物理学世纪：理论力学、电动力学（ 场论）、统计力学、量子力学与相对论。形成理 论物理，同时推动了数学的发展。 流形上的函数及其场方程的模型：代数方程组和微 分方程组。 理论力学的 Lagrange和Hamilton方程组； 电动力学的 Maxwell方程组； 统计物理的 热力学基本方程和统计分布函数； 量子力学的 Shrdinger、Dirac、Heisenberg方程； 相对论的 爱因斯坦的引力场方程。 8 二十一世纪形成以生物为核心的多中心： 生物学 能源 信息 社会 经济 9 陈省身： 二十世纪的数学家要关注物理，二十一世 纪的数学家要关注生物学。 杨振宁： 我们应该关注生物学，生物学还没有理论 ，但是积累了大量的数据，期待理论的建立。 10 系统生物学：理解生物体以及生物过程，并非只 是在生命的各个层次上的研究，而是各层结构的 整合才涌现出生物功能。 分子 细胞 组织与器官 系统生物学是生物学的第一个理论化的学科，它将 引导生物学从实验科学走向理论指导下的实验、计 算、理论的科学。 正象二十世纪的理论物理的产生时代！ 基本方法：海量数据的计算为基础，系统的数学建 模为核心理论方法，以系统干扰为特征的实验。 系统生物学二十一世纪的核心学科 11 二、数学建模的三个方面 1、科研 建模应用研究：各个领域的问题建模和模型求解， 当前最热的建模领域是经济和生物。金融与保险模 型，市场的博弈模型，经济趋势模型，等等。系统 生物学是以建模为核心的生物学，成为生物学世纪 的标志性学科。 建模理论研究：仿真、模拟和数学模型，类比的数 学建模方法，结构主义数学建模的理论与实践。 12 2.1 热点社会问题 金融危机，例如政策问题：发放购物券的效果？ 网瘾问题，网瘾与上网频率关系？教育策略？ 反腐败问题，规模性腐败的惩治力度评估？ 房价问题，是“富人控制北京房价”吗？房价的社 会影响？ 水资源问题, 干旱和缺水风险评估与应对策略？ 经济发展与水资源的和谐模型？ 药费暴利问题, 解决方法与下降模型？ 2. 建模研究问题 13 2.2 科研中新问题 流感问题, 例如，SARS、禽流感、H1N1， 为什么近十年来流感会对全世界发生重大威胁？ 能够用数学模型化方法解释或提供措施建议？ 网络研究，Web和Inter网的病毒传播模型是什 么样？有无模型化方法研究对策？ 心理学，抑郁症在许多国家形成规模，是否可 以象流行病类似建立疾病传播模型？ 灾难学与应急问题，灾难不可避免，但是可以 有快速有效的应急机制，例如地震后的搜救方法 等等。 系统生物学，这是一门以建模作为核心方法的 新学科! 大方向中的具体问题抽取？ 14 2.3 经济与市场问题 房价的市场与政策驱动，经济适用房的政策影响 面对房价平抑作用，房价占工资比例对房价的影响 ，调控政策的评估模型。 产品销售补贴的评估，家用电器的销售补贴政策 对市场启动的影响。 就业政策的调控效果，创业补贴和无就业补贴对 于就业市场的影响。 零售价格倒置现象模型，产地物价与北京物价倒 挂对于市场影响和对农业的影响，等等。 理财策略，个人理财的博弈模型。 15 2.4 城市问题（世博会） 交通：城市交通网络布局与道路网络布局的合理 设计模型。 商业：城市商业网点分布与人口、交通的优化结 构模型。 人口分布：人口分布与交通网络的交互作用模型 。 功能关联：城市功能结构的最大效益设计模型。 卫星城的结构和功能相关性模型。 电动自行车的速度限制：合理速度模型，对交通 问题的影响？ 城市化进程与水、电价格的调整模型，等等。 16 2.5 文化、体育、艺术中的问题 体育模型:滑雪赛道设计，比赛选拔方案，标枪 的长度，不同跑道的差步（体育数学），等等。 艺术模型：青年歌手大奖赛的选拔策略，音乐厅 座位的定价，演唱会中的同步效应的应用，等等 。 文学与文字：红楼梦人物的规律性研究，人物关 联模型与情节生动、复杂性研究，古文字发掘的 模型在中华文化中的发展路径研究，等等。 中医与烹饪：网络模型与特点研究。 社会网络模型（social network analysis,SNA）: 国际关系预测与对策，侦测问题。 无处不在的数学，问题在于理解、思考与开拓！ 17 18 3. 教学 数学建模方法融入数学主干课程 大学数学教育，让让学生掌握数学建模的思想 和方法，是培养学生具有良好的数学基础础的重要 标标志，有利于大学生加深对对数学重要性的理解， 有助于提高他们们学好数学的积积极性。 全世界的有识识之士都在探讨讨怎样样尽早让让大学 生初步掌握数学建模的思想和方法的问题问题 。这这也 是大学数学教学改革的一个重要方面。 19 2002年到2005年全国组委会就实施了由李大 潜院士牵头的教育部教改立项“把数学建模的思想 和方法融入大学主干数学课程教学中去”，有20多 个院校参加。许多在教学第一线的数学教师，特 别是许多直接参与指导数学建模竞赛等活动的教 师积极参与这项教改活动，在他们的课堂上努力 做融入的各种试验。出版了不少包含许多数学模 型的高等数学教材。 20 4、科研、教学与教学关系 1）科研是教学的基础 只有通过科研才能深入理解教学内容的 内涵和外延。 理解三部曲: 听课，理解知识的表述逻辑和直觉； 讲课，理解知识的内在逻辑； 科研，才理解知识的内涵和外延！ 21 2） 教学是科研的延伸和反馈 将科研内容通过教学向听众宣传和说服； 听众的反应是科研内容的批判和反馈； 敏感的反馈是科研发展的启发与契机！ 3） 教学研究是教学的指导 关键是知识结构与表述结构的转换： 知识结构是因果逻辑的， 表述结构是抽象与直观结构的转换！ 22 4） 教学研究方法教学试验 数学建模方法融入数学主干课程的教学实验 叶其孝 1）对一个比较容易理解的实际问题，设计编写2学时的教学 单元，包括讲稿、问卷调查表、测验题、课外习题和研究课 题，并对每个学时的使用内容提出具体的建议。 2）在具体实施时，所有的问卷调查表、测验题、课外习题 和研究课题都要事先印好，在讲课时发给学生，便于收回进 行统计和定量分析，进一步了解学生学习数学的总体情况， 特别是学习中的难点，可以有针对性地帮助学生。 3）在每个教学单元中，所有的讲稿、问卷调查表、测验题 、课外习题和研究课题都强调要严格按照数学建模的4个关 键步骤“合理假设、数学模型的建立、数学模型的求解、解 释验证”去做。 23 问问 题题是否 你在中学是否知道在北京和上海等地有一个 “中学生数学知识识 应应用竞赛竞赛 ”? 2555 你是否参加过过“中学生数学知识应识应 用竞赛竞赛 ”活动动?1168 你是否听说过说过 数学模型(Mathematical Model)这这个名词词?755 你是否听说过说过 数学建模(Mathematical Modeling) 这这个名词词?746 你是否知道我国有一个“全国大学生数学建模竞赛竞赛 ”?6713 你是否知道美国有一个名为为“Mathematical Contest in Modeling (MCM)”的大学生数学建模竞赛竞赛 ? 2060 在本节讲课节讲课 前, 你是否参加过过与数学建模有关的活动动?1367 你是否参加了我校的数学(建模)协协会1661 学习习本节讲课节讲课 后, 你对对数学建模是否有所了解? 71位同学回答基本正确，9位同学没有回答 692 数学建模的主要步骤骤是： 71位同学回答基本正确，9位同学没有回答 71 你对对今天讲讲的课课有什么评评价？你有什么意见见和建议议？你认为认为 在讲讲解应应用(或数学建模)时应该讲时应该讲 什么样样的内容(题题材)、采 取什么样样的教学方法？ 回答的40人都是正面肯定的。另外40人没有回答。 40 2011-10-16北京理工大学问卷调查表 (数学学院数学分析课89位同学上课，交回80份) 24 归纳假设 试验与数据采集 数据分析 结论 教学研究是一种科学研究！ 应当通过科学研究的方法进行： 试验 目的：不同教学内容（安排、教学方法等）的效果 。 试验设计：试验与对照组教案；效果判别准则；数 据收集方法（例如问卷）；统计分析方法，等等。 分析与结论 25 深入理解的螺旋钻模式 具体抽象 Hilbert：任何一个数学概念，都可以用面包、 啤酒瓶子摆出来！ 26 例子 在线性代数中“向量组的线性相关和无关”是 一个抽象的概念。 从科研中加深理解：直观、来源与用途。 x1,x2,x3 笛卡尔 坐标系 仿射 坐标系 曲线 坐标系 极大线性 无关组 27 三、 建模方法浅谈 1.为什么要研究数学建模方法？ 大学生的问题：数学建模 = 数学引模 ？ 目前的数学建模教学： 介绍建模五步法（一节课）； 工具训练（两节课）； 讲解案例（二十节课）； 练习（十节课） 如何建模？ 实际或竞赛 的建模问题 课程学习与培训中 的数学建模案例 引用案例 借鉴案例 类比、引用和借鉴是很有效的方法：现状！ 数学建模方法= 创造性的本质方法 + 模型类比方法 数学建模 数学荐模+数学引模一种初步实用 的，基于类比与经验的方法： 非普适的、非创造性的和非本质的！ 但是： 例一、Web中的问题 网络已经成为现代人的一种生活方式 。在网上，每天有成千上万的多媒体文件 在传输（例如，路透社每天收到网上文本 文件达20万）。试建立数学模型，使得可 以对这些文件进行自动分类，以便人们阅 读和使用。 没有可类比的案例时怎么办 ？ 例二、中国菜系研究 中国是一个美食及其文化非常丰富的国 家，因为国土辽阔，人口众多。中国著名的 菜系：苏菜、闽菜、川菜、鲁菜、粤菜、湘 菜、浙菜、徽菜。 请用数学建模方法研究这些菜系的特点 。 从基本概念的理解出发： 模型？+ 数学？ 数学模型？ 如何建模？ 问题：如何从数学模型的概念出发构造方法 结构化数学建模方法： 基于创造的本质性的方法。 31 2. 什么是结构主义建模？ 2.1 模型是什么？ 模型：以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。 抽象出结构：不是一般概念的抽象，而是结 构的抽象； 适当的表示：使用不同知识与方法，需要不同 的语言表示。 特定目的：目的不同，关注的结构（事物的内部 联系）不同； 原型 抽象出结构 模型 结构主义学派（ Bourbaki ）： 数学 = 集合 + 结构 2.2 数学是什么？ 这是一个困难的问题，并没有唯一的答案。 布巴基学派认为有三种母结构：序结构、代数结构 和拓扑结构；其他数学结构都是母结构的组合或复 合，形成复杂结构。不同的数学就是结构不同。 例如 所谓实数直线R，就是由全体实数构成的 一维欧氏空间我们将看到，R是一个完备的阿基 米德全序域它是由代数结构(域)、序结构(全序) 、拓扑结构(完备性结构)形成的分支结构 33 数学是普适的 原型=集合+结构 数学 = 集合 + 结构 2.3 数学的普适性 原型：具体的元素与部件 具体的结构 数学：抽象的元素 抽象的结构 数学研究的内容决定了数学的普适性！ 应用 34 科学序与物质世界的形成(普适性的物质基础) 科学的依存关系： 社会科学由生命体组成 生命科学生命由细胞、蛋白质组成 化学科学分子、大分子、原子团簇 物理科学基于基本粒子组成的各种物质形态 数学物质的起源 霍金：如果广义相对论成立，则任何合理的宇宙模型都起 始于一个奇点（数学点！）目前最好的宇宙论！ 2.4 什么是数学模型 “定义”： 模型原型结构的适当表示； 数学：集合+结构，数学是研究结构的， 数学模型：原型结构的数学表示。 “定义” 如何建模？ 36 3. 结构化数学建模程序 利用数学理论分析、计算、推演，求得问题的解 或产生新的结构 揭示新的专业结构。 数学语言表示的结构 数学模型 专业语言描述结构 专业模型 分析出原型的结构，并用数学语言表示其结构。 一般流程： 有些问题专业模型难，有些问题数学模型难。 对原型确定目的 分析原型的结构建立专业模型 建立数学模型 解数学模型 寻找对应的数学结构 37 Brown（1920）为转移酶反应提出了首个酶 促反应机理。假设反应全部是单底物的，没有逆 反应和效应物，只包含从游离酶E与底物S结合形 成酶底复合物ES的可逆过程，以及产物P从酶E 上不可逆释放过程： 这是酶反应动力学的模型，描述了酶、底物、 中间络合物和产物的连接关系，是小系统的结构。 将这种结构用化学语言表示就是原型的化学模型。 38 4. 结构主义分析案例（1）：酶促动力学 数学建模： 用数学语言描述化学模 型的结构，转换为数学模型 。将结构图用数学图论的方 法描述，就是网络： ES S E P 耦合 数学模型有不同的表示，区分不同视角和抽象 度，使用不同的数学语言。 例如，关注节点的动力学，可以用连续的动力 系统语言，建立微分方程组模型。 39 动力学模型的简化假设： 1）节点动力学原因与“自己+进线方”相 关； 2）一级近似：线性。 即： 变化率= -（出线方）+（进线方 ） ES S E P 耦合 40 城市表层土壤重金属污染分析 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区 、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区 、2类区、5类区。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此， 将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域， 按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度 ）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应 用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的种化学 元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些 远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区 表层土壤中元素的背景值。 41 5. 结构主义分析案例（2）: 2011年A题 5.1 问题的结构性理解与分析 背景信息 分成5个功能区：生活区、工业区、山区、主干道 路区及公园绿地区。 地质环境调查方法：每平方公里1个采样点对表层 土（010 厘米深度）进行取样。 问题给出的条件 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功 能区等信息， 附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度 ，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。 42 问题的目标 1）8种元素浓度的 空间分布，显然两种表示：分 布图和数据表。 2）“不同区域重金属的污染程度” 首先是“污染程度”的表示，这里在地质环境专业中 有多种定义和计算公式，而给出的背景值显然可以 作为“污染和无污染”的一种划分。但是专业可以有 多级划分是比较好的。 第二层是每一种金属对于5个区的污染分析和总的 金属污染程度的分析。 这些分析显然是统计表格，金属污染与区域的相关 性分析等方法。 算法很多，模型的味道很淡。 43 2）污染的主要原因 显然，在哪些区域，由什么物质，通过什么方式 造成的污染？ 这里有两个相关性：金属元素之间的相关性，这 种相伴污染，往往导致污染物质的发掘；第二个 是污染的元素与地区的 相关性，这是揭示什么生 活与生产活动导致污染。 至于污染来自何处，正是下一个问题。 44 3）分析重金属污染物的传播特征，建立模型确定 污染源的位置。 这本来是最终目的，也是最困难的问题。 分析问题的结构： 问题的目标系统是一个地区的污染数据，这 里由已知条件给出的两个耦合的结构：区域中的 高度分布和8种元素的浓度分布。 观察数据，是高度离散的结构数据！ 问题：在上述结构中，找一些位置，它们是污染 源。 45 传播特征：传播的方式和类型，包括传播涉及的介 质，特别是不同元素可能不同，相关的元素可能相 同。这种思考是寻找污染源的重要基础。 从简单的常识和物理学知识，很容易想到两类基本 的传播模式：扩散和对流。 特别是通过查询文献几乎立马可得！ 思考：污染源满足的条件？ （污染源的位置+污染物释放量+传播方式和途径） +地区三维坐标结构）的时间积累 =目前所测量的污染分布结构。 46 5.2 深入分析问题3与建模 1）无论是扩散还是对流，若用微分方程模型与数 据的高度离散不协调。 自然想到的是数据加密，如何加密？ 地理数据可以通过二维插值加密，例如Kriging插值 、Shepard插值等； 浓度插值必须在地形插值基础上插值，例如， 插值系数与距离有关（扩散），也与高度的梯度有 关（对流）。 这些插值已经考虑了传播的机理：驱动力。 2）如果不用微分方程模型插值到比较粗的水平引 入网络模型。 47 5.3 一个推荐的方法 通过对竞赛A题所给数据进行分析可知一些重 金属的污染是区域性的，如Cd/Pb这两种元素是八 种重金属中相关性最高的两种元素，污染严重区 域为工业区和交通区，源于煤、石油等燃烧、汽 车轮胎磨及含重金属工业作业。 只讨论具有可孤立污染源的重金属的污染源的 搜寻方法。这里界定的可孤立性，是指在污染源的 一个适当的范围内只有一个源，这对于工业区中产 生污染物的工厂的分布是比较吻合的。 48 可压缩流体欧拉连续性方程的特征线的方向： 污染源应该在特征线上。污染源产生的重金属污染 物随流体沿流线传播时，假设其流失比为常数，记 为： ，则未流失重金属比例为 而流线上其它点重金属污染浓度增量应该为污染源 浓度增量的 倍。由此可得污染源满足以下模型 ： 这里 为待估测点处的重金属浓度，流线上其它 点处的重金属浓度为 。 49 50 1）污染源不一定是水源； 2）污染源在特征线上； 3）污染源与被污染点的污染物 浓度满足上面的优化问题的解。 由于数据离散太粗无法计算，必须插值加密 。二维插值方法很多，但是对于高度插值， shepard方法(MQS方法)： 其中： 高度相关，与距离平方成反比。 51 浓度插值 其中： 这是由于重金属物质附着在流体中传播，而流体的 对流是由两点间高度差引起的，地形的梯度是流体 流动的驱动力，所以浓度插值权系数应该和高度差 正相关。同时，两点间距离越小两点之间浓度关系 越密切，所以两点间浓度的相互影响与距离负相关 。 52 数值计算，从一个区域的流线出发，估测到 三个污染源： 详细结果请看数学建模及其应用期刊上的文章 。 53 B题 交巡警服务平台的设置与调度 6.1 问题的简述 要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服 务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基 本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的 实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配 各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临 的一个实际课题。 试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数 学模型分析研究下面的问题： 6. 结构主义分析案例（3） （1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通 网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意 图，相关的数据信息见附件2。请为各交巡警服务平 台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发 事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为 60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务 平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现 快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个 路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度 方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地 方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至 5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。 （2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F） 的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任 务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（ 参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出 解决方案。 如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事 案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾 车逃跑。为