数学：2.1.3《函数的单调性》课件(新人教b版必修1).ppt

21.3 函数的单调性 知识整合 1增函数和减函数 一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间_ 如果取区间M中的任意两个值x1，x2，当改变量 _时，有yf(x2)f(x1)0，那就称函数yf(x)在区 间M上是增函数，如下图(1) 当改变量_时，有yf(x2)f(x1)0 xx2 x10 2增函数 减函数 单调 性 单调 区间 4增函数 减函数 5.减函数 增函数 增(或减)函数 增函数 减函数 减函数 增函数 名师解答 1要正确理解单调 性的定义，应该 抓 住哪几个重要字眼？ (1)第一关键“定义域内” 研究函数的很多性质，我们都应有这样 一个习惯 ：定义域优先原则函数的单调 性是对定义域内某个子区间而言的，即单 调区间是定义域的子集函数yx2的定义 域为R，但函数yx2在区间(，0上是递 减的，在区间0，上是递增的 (2)第二关键“某个区间” 增函数和减函数都是对相应的区间而言 的，离开相应的区间就谈不上函数的单调 性我们不能说一个函数在x5时是递增 或递减，因为这时 没有一种可比性，没突 出变化所以我们不能脱离区间泛泛谈论 某一个函数是增函数或是减函数比如二次 函数yx2，在y轴左侧它是减函数，在y轴 右侧它是增函数因而我们不能单一说y x2是增函数或是减函数，必须加上区间进 行 区别 当然，有些函数在其整个定义域内单调 性一致，如yx，我们会说yx在定义域内 是增函数此时，“在定义域内”常被忽略， 这就是说法上的一种错误 了 (3)“任意”和“都有”别忽略 在定义中，“任意”两个字很重要，它是 指不能取特定的值来判断函数的增减性，而 “都有”的意思是：只要x1f(x2)， 若由此判定yx2在2,2上是减函数，那就 错了 同样地，理解“都有”，我们也可以举例 说明：yx2在2,2上，当x12，x2 1时，有f(x1)f(x2)；当x11，x22时，有 f(x1)0，yf(x2)f(x1)1，且x x2x10，x1x210.从而yf(x2) f(x1)0， 在区间(，1)上，函数f(x)是单调 递增的 评析：函数的单调性是对某个区间而言 的，不是两个或两个以上不相交区间的并集 ，尽管f(x)在(1,0)上是减函数，在(0,1)上也 是减函数，但不能说f(x)在(1,0)(0,1)上是 减函数，也不能说f(x)在(1,1)上是减函数， 更不能说f(x)在(，0)(0，)上是单调 函数 变式训练 2 求函数f(x)|x2x12|的单 调区间 分析：关键是正确作出函数的图象 题型三 函数单调性的综合应用 【例3】 如果函数f(x)x2bxc对任 意实数t都有f(2t)f(2t)，比较f(1)、f(2) 、f(4)的大小 分析：本题关键是弄懂f(2t)f(2t)所 表达的意思它表示数2加t或减t，函数值不 变，即x2是这个二次函数的对称轴 解：由题意知，f(x)的对称轴为x2， 故f(1)f(3)， f(x)在2，)上是增函数， f(2)2时，由下图可知， f(x)minf(2)34a， f(x)maxf(0)1. 评析：(1)由于对称轴是xa，而a取何 值呢？导致了分类讨论 (2)不是应该分a2三种情况 讨论吗？为什么成了四种情况？因为抛物线 的对称轴在区间0,2所对应的区域时，最小 值是在顶点处取得，但最大值却有可能是 f(0)，还有可能是f(2) (3)习惯上，最大值用符号f(x)max表示， 最小值用符号f(x)min表示 (4)解答本题，画图是必不可少的，最好 画出四种情况下的图形，从而有助于解题 变式训练 3 求函数yx22x在5,5 上的最值 解析：利用对称轴与区间的位置关系判 定函数的单调性，对称轴x1. x5,1时函数yx22x单调递减 x1,5时函数yx22x单调递增 当x1时f(x)有最小值为1. 当x5时f(x)有最大值为35. 整体探究解读 题型一 复合函数单调性的判断 【例1】 已知函数f(x)，g(x)在(a，b)上 是增函数，且ab)，在AB、AD、CB、CD 上，分别截取AEAHCFCGx(x0)， 设四边形EFGH的面积为y. (1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的 函数关系式； (2)求当x为何值时 y取得最大值，最大 值是多少？ 分析：首先用割补法，将四边形EFGH 的面积转化为特殊图形矩形和直角三角形 的面积问题其次，根据二次函数的单调性 求最大值 评析：利用函数的单调性，还可以求几 何图形的面积的最大值，要注意在实际应用 题中自变量的取值范围 【例6】 函数f(x)对任意的a、bR， 都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时， f(x)1. (1)求证：f(x)是R上的增函数 (2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3. 分析：(1)证明函数的单调性，虽无具体 的解析式仍可用定义来证明注意对条件f(a b)f(a)f(b)1的应用；(2)可利用(1)中 证得的结论将不等式作适当变形再利用单调 性来解 评析：本题中的函数是抽象函数，证明 函数的单调性时仍从定义入手，关键是f(a b)f(a)f(b)1的灵活运用；利